Hallo zusammen,
ich scheitere grade dabei die Lösung einer Aufgabe nachvollziehen zu können. Mein Problem liegt darin, dass ich nicht verstehe wie ich von der "grünen" Formel zur "blauen" Formel komme und dann daraus die pq-Formel bilde. Vielleicht kann mir jemand die einzelnen Schritte dazu erklären.
Vielen Dank und Beste Grüße wünscht
Cellrok
Folgende Aufgabe:
Der Wasserstrahl von einem Feuerwehrschlauch tritt mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 18 m/s in Bodennähe aus der Mündung und soll ein 6m entferntes Haus in 12m Höhe treffen. Unter Welchem Winkel muss der Wasserstrahl nach oben geneigt werden? (keine Reibung, es gibt zwei mögliche Winkel).
Lösung:
$$v_{ 0y }\, =\, v_{ 0 }\,sin(\alpha )$$
$$v_{ 0x }\, =\, v_{ 0 }\,cos(\alpha )$$
$$ (1)\quad y\,=\, v_{ 0y }\,t\,-\,\frac{1}{2}\,g\,t^2 $$
$$(2)\quad x\,=\,v_{0x}\,t$$
(2) nach t auflösen und in (1) einsetzen
$$(3)\quad⇒ y\,=\,\frac { v_{0y} }{ v_{0x} } x-\frac { 1 }{ 2 } g\left( \frac { x }{ v_{0x} } \right)^2$$
(3) mit v0x² multiplizieren und nach v0y auflösen:
$$(4a)\quad⇒ v_{0y}\,=\,\frac {y v_{0x}^2\,+\,\frac{1}{2}gx^2 }{ v_{0x}x }$$
(4a) quadrieren liefert:
$$(4b)\quad⇒ v_{0y}^2\,=\,\frac {(y v_{0x}^2\,+\,\frac{1}{2}gx^2)^2 }{ v_{0x}^2x^2 }$$
Aus dem Satz des Pythagoras $$v_{0y}^2=v_0^2-v_{0x}^2$$ folgt:
$$(5)\quad v_0^2-v_{0x}^2\,=\,\frac {(yv_{0x}^2\,+\,\frac{1}{2}gx^2)^2 }{ v_{0x}^2x^2 }$$
Jetzt wird aus:
$$v_{0x}^2\,=\,a$$
$$\frac { 1 }{ 2 } gx^2\,=\,b$$
$$⇒\,v_{0}^2-a\,=\,\frac {(ya\,+\,b)^2 }{ ax^2 }$$
$$⇔a^2\,+\,\frac {(2by-v_{0}^2x^2)}{(y^2+x^2) }a\,+\,\frac {b^2}{(y^2+x^2)}\,=\,0$$
pq-Formel oder was auch immer und $$\frac { 1 }{ 2 } gx^2\,=\,b$$ folgt:
$$a_{1,2}\,=\,-\,\frac {(gx^2y-v_{0}^2x^2)}{2(y^2+x^2)}±\sqrt{\frac{(gx^2y-v_{0}^2x^2)^2}{4(y^2+x^2)^2}-\frac{g^2x^4}{4(y^2+x^2)}}\,=\,-\,\frac{(gy-v_0^2)}{2(\frac{y^2}{x^2+1})}±\sqrt{\frac{(gy-v_0^2)^2}{4(\frac{y^2}{x^2+1})^2}-\frac{g^2x^2}{4(\frac{y^2}{x^2+1})}}$$
$$a_{1,2}\,=\,-\frac{12m\,g-v_0^2}{10}±\sqrt{(\frac{12m\,g-v_0^2}{10})^2-\frac{9}{5}m^2\,g^2}$$
$$v_{0x1,2,3,4}\,=\,±\,\sqrt{a_{1,2}}$$
$$g\,=\,10\frac{m}{s}$$
⇒$$v_{0x1} ≈ 5,981 \frac{m}{s} \quad ∧ \quad v_{0x3} ≈ 2,243 \frac{m}{s}$$
$$α\,≈\,70,59 \quad ∧ \quad α\,≈\,82,84$$
