Ausbreitung von Wellen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei eine Welle, die sich mit der Geschwindigkeit v in positive x-Richtung ausbreitet. Diese wird durch die Funktion f(x - vt) beschrieben.

Zeigen Sie, dass sich ihr Profil (= ihre Form) nicht mit der Zeit ändert.


Ansatz:

Aus dem Skript hab ich folgende Zeilen jedoch schaffe ich es nicht damit vorran zu kommen. Da die Wellengleichung linear in der Auslenkung ist, ist die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung. Somit ist die allgemeinste Lösung:

ξ (x,t) = f(x+ct) +g(x-ct)

Für alle Zeiten t ist die Auslenkung an einem bestimmten Ort festgelegt:

ξ (x = x₀,t) = h(t)

Eine Lösung, die diese Randbedingung erfüllt ist (in postivite x- Richtung laufende Welle):

ξ (x ,t) = h(- ((x-x₀) / c)+ t)

Muss ich bei dieser Aufgabe die Propagation der Welle als harmonische Oszillation ansehen oder wie könnte ich die Frage auffassen?

Comments

Die Form der Welle ist definiert durch den Zeitpunkt t=0, das ist f(x).

f(x-vt) mit konstantem v verschiebt einfach alle Punkte der Funktion f(x) nach rechts um vt .

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Ausbreitung von Wellen

Um zu zeigen, dass sich das Profil einer Welle, die sich mit einer gegebenen Geschwindigkeit \(v\) in positive x-Richtung ausbreitet und durch die Funktion \(f(x - vt)\) beschrieben wird, nicht mit der Zeit ändert, können wir auf die allgemeine Theorie der Wellenbewegung zurückgreifen. Dabei müssen wir nicht unbedingt auf harmonische Oszillationen zurückgreifen, sondern können die Frage allgemeiner betrachten.

Zunächst müssen wir verstehen, was \(f(x - vt)\) bedeutet. Diese Form repräsentiert eine sich bewegende Welle; \(-vt\) steht dabei für die Verschiebung der Welle nach rechts mit der Zeit, falls \(v\) positiv ist (die Welle bewegt sich in die positive x-Richtung). Die Argumentvariable \(x - vt\) bedeutet, dass für jeden Zeitpunkt \(t\) das Wellenprofil um \(vt\) nach rechts verschoben ist.

Zu zeigen: Das Profil der Welle ändert sich nicht mit der Zeit

Um zu zeigen, dass sich ihr Profil nicht ändert, betrachten wir die Wellenfunktion zu zwei verschiedenen Zeiten \(t_1\) und \(t_2\).

Sei
1. \(f(x - vt_1)\) das Wellenprofil zum Zeitpunkt \(t_1\),
2. \(f(x - vt_2)\) das Wellenprofil zum Zeitpunkt \(t_2\).

Der Schlüssel zum Verständnis liegt darin, dass die Funktion \(f\) das Wellenprofil beschreibt und dieses Profil entlang der x-Achse mit der Geschwindigkeit \(v\) verschoben wird. Die Funktion \(f\) an sich ändert sich dabei nicht; sie wird lediglich entlang der x-Achse mit der Zeit verschoben. Das heißt, für zwei verschiedene Zeiten \(t_1\) und \(t_2\) ist die Form der Welle bei \(x - vt_1\) die gleiche wie bei \(x - vt_2\), nur an unterschiedlichen Orten entlang der x-Achse.

Also, wenn wir uns auf einen festen Punkt \(x'\) konzentrieren, der das verschobene \(x\) zu einem späteren Zeitpunkt darstellt, so dass \(x' = x - vt\), bleibt das Profil \(f(x' + vt)\) genau gleich, unabhängig vom Wert von \(t\), weil die interne Verschiebung \(vt\) die externen zeitlichen Veränderungen ausgleicht. Daher ist \(f(x - vt)\) an jedem Punkt \(x\) zum jedem Zeitpunkt \(t\) gleich in Bezug auf die Form der Welle.

Dies kann auch in Beziehung gesetzt werden zu der allgemeineren Lösung der Wellengleichung:

\(ξ (x,t) = f(x+ct) +g(x-ct)\)

In diesem Kontext ist \(f(x - vt)\) ein Spezialfall, wo \(g(x-ct) = 0\) und die Welle sich nur in eine Richtung ausbreitet. Da die spezifische Form von \(ξ (x, t)\) zeigt, dass die Welle an jedem Punkt \(x\) zum jedem Zeitpunkt \(t\) durch eine konstante Funktion \(f\) dargestellt wird, ändert sich ihr Profil nicht über die Zeit – es bewegt sich einfach entlang der x-Achse.

Zusammenfassend kann also gesagt werden, dass durch die Darstellung \(f(x - vt)\) bereits impliziert wird, dass sich das Profil der Welle bei der Ausbreitung nicht ändert, sondern lediglich über den Raum mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) verschoben wird.