Ein Satellit bewegt sich auf einer Ellipsenbahn um die Erde.

Question

Sein Abstand im ernächsten Punkt beträgt 300km,sein größter Abstand 2000km. Bestimmen sie mithilfe des 2 Kepler´schen Gesetz das Verhältnis der Geschwindigkeiten.

Gesetz:Der Lichtstrahl eines Planeten zur Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

V1/v2

Answer 1

Hey,

Ich bezeichne die relevanten Größen mal mit:

$${ v }_{ p }\quad und\quad { r }_{ p }\\ { v }_{ a }\quad und\quad r_{ a }$$

(p = Perigäum; a = Apogäum)

Wir betrachten den Satellit in einer extrem kurzen Zeit Δt im Perigäum. Diese Zeit ist so kurz, dass wir näherungsweise annehmen können, der Satellit fliegt gerade aus und nicht auf einer gekrümmten Bahn. Für die zurückgelegte Strecke gilt deswegen:

$${ v }_{ p }*\Delta t=s$$

Verbindet man die beiden Endpunkte dieser Strecke mit dem Mittelpunkt der Erde ensteht ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe r_p. Für dessen Flächeninhalt gilt:

$$A=\frac { 1 }{ 2 } s*{ r }_{ p }=\frac { 1 }{ 2 } *{ v }_{ p }*\Delta t*{ r }_{ p }$$

Genauso verhält es sich im Apogäum:

$$A=\frac { 1 }{ 2 } s*{ r }_{ a }=\frac { 1 }{ 2 } *{ v }_{ a }*\Delta t*{ r }_{ a }$$Da die Betrachtungszeit im Peri- und Apogäum gleich ist, gilt:

$$\frac { 1 }{ 2 } *{ v }_{ p }*\Delta t*{ r }_{ p }=\frac { 1 }{ 2 } *{ v }_{ a }*\Delta t*{ r }_{ a }\\ \Rightarrow \quad { v }_{ p }*{ r }_{ p }={ v }_{ a }*{ r }_{ a }$$

Das Verhältnis kannst du nun durch umstellen der Formel selbst berechnen. Bei Fragen einfach melden ;)

Gruß
EmNero

Comments

Wie genau kommt man den von A=1/2 s*r (was ja sie Formel für das Dreick ist) auf =1/2* v*t*r ?

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Ich habe einfach s durch die obere Gleichung ersetzt ;) Die Zeit t ist so kurz, dass die überstrichene Fläche (näherungsweise) ein Dreieck darstellt

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Und wie genau muss man die Formel dann umstellen ?

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So:

$$\frac { { v }_{ a } }{ { v }_{ p } } =\frac { { r }_{ p } }{ { r }_{ a } } $$

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Das Verhältnis ist dann also ca. 1,25 (gibts da eine Einheit ? nein oder )

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2000km/300km ≈ 6,66. Wie kommst du auf 1,25? Richtig es gibt keine Einheit. Ist ja schleißlich ein Verhältnis ;)

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Erdradius muss doch noch dazuaddiert werden also zu 2000km und 300km

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Achso stimmt ^^

((20000+12700)/(300+12700))=2,5 ;)

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Ich hab jetzt den Erdradius 6371 km stimmt dann 1,25 ?

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Ist das eigentlich egal ob Va oder Vp oben steht ?

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Egal ist das nur dann, wenn du auch die andere Seite der Gleichung vertauschst. ((20000+6371)/(300+6371))=3.95

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wie kommst du den auf 3,95 ich komm auf 1,25

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$${ v }_{ a }{ r }_{ a }={ v }_{ p }{ r }_{ p }\\ \frac { { v }_{ a } }{ { v }_{ p } } =\frac { { r }_{ p } }{ { r }_{ a } } =\frac { (300+6371) }{ (20.000+6371) } =0,253\\ \frac { { v }_{ p } }{ { v }_{ a } } =\frac { { r }_{ a } }{ { r }_{ p } } =\frac { (20.000+6371) }{ (300+6371) } =3,953$$

Wie kommst du auf 1,25?

Grüße
EmNero

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Ja doch dein Ergebnis ist richtig :) Habe aus Versehen mit einer Entfernung von 20.000km im Apogäum gerechnet... Ich entschuldige mich für diesen mehr oder weniger unnötigen Fehler ^^

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Kein Problem vielen Dank für die tolle Hilfe