Da der harmonische Oszillator (HO) ein sehr wichtiges Modellsystem ist, wird er hier ausführlich behandelt. Der HO lässt beispielsweise einen an eine Feder (Federkonstante k) befestigten Massenpunkt der Masse m realisieren. Unter Vernachlässigung der Reibung und für kleine Auslenkungen wirkt auf ihn eine rücktreibende Kraft, die proportional zur Auslenkung |x| ist.
Eine nicht-mechanische Realisierung ist bei einem elektrischen Schwingkreis gegeben, aufgebaut aus einer Spule (Selbstinduktion L) und einem Kondensator (Kapazität C). Hier gilt für den Strom I die Differentialgleichung \( L \ddot { I } + \frac { 1 } { C } I = 0 \) und damit für die Resonanzfrequenz \( \omega _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { L C } \), wobei eine zeitliche
Ableitung durch einen Punkt über der Variablen angedeutet wird, \( \dot { I } \equiv \frac { d } { d t } I \).
a) Stellen Sie für dem mechanischen Fall die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese allgemein mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.
b) Falls noch nicht unter a) geschehen: Zeigen Sie, dass die Lösung aus a) als \( x ( t ) = D \cos ( \omega t - \varphi ) \) geschrieben werden kann.
c) Bestimmen Sie mit a) die Kreisfrequenz \( \omega \) und die Schwingungsdauer \( \tau \).
Für Tipps und Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!
