Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators

Question

Da der harmonische Oszillator (HO) ein sehr wichtiges Modellsystem ist, wird er hier ausführlich behandelt. Der HO lässt beispielsweise einen an eine Feder (Federkonstante k) befestigten Massenpunkt der Masse m realisieren. Unter Vernachlässigung der Reibung und für kleine Auslenkungen wirkt auf ihn eine rücktreibende Kraft, die proportional zur Auslenkung |x| ist.

Eine nicht-mechanische Realisierung ist bei einem elektrischen Schwingkreis gegeben, aufgebaut aus einer Spule (Selbstinduktion L) und einem Kondensator (Kapazität C). Hier gilt für den Strom I die Differentialgleichung $L \ddot { I } + \frac { 1 } { C } I = 0$ und damit für die Resonanzfrequenz $\omega _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 1 } { L C }$, wobei eine zeitliche
Ableitung durch einen Punkt über der Variablen angedeutet wird, $\dot { I } \equiv \frac { d } { d t } I$.

a) Stellen Sie für dem mechanischen Fall die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese allgemein mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.

b) Falls noch nicht unter a) geschehen: Zeigen Sie, dass die Lösung aus a) als $x ( t ) = D \cos ( \omega t - \varphi )$ geschrieben werden kann.

c) Bestimmen Sie mit a) die Kreisfrequenz $\omega$ und die Schwingungsdauer $\tau$.

Für Tipps und Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Hallo

 da steht fast alles, rücktreibende Kraft= beschleunigende Kraft gegen die auslenkungsrichtung x

 also mx''=-k*x hat als  allgemeine Lösungen x=A*sin(ω*t)+B*cos(ω*t)=C*cos(ωt+φ) mit ω=√(k/m), wenn du den letzten cos mit Additionstheorem auflöst kannst du aus A und B C und φ bestimmen.

Gruß lul

Comments

Hallo lul

x =C*cos(ωt+φ)  mit ω=√(k/m) 

 haben wir auch im Skript gegebn aber könntest du bitte erklären wie du auf

 x=A*sin(ω*t)+B*cos(ω*t) 

kommst ?  Da blicke Ich gerade nicht ganz hinter.

Gruß Hans

---

Hallo

mit dem Wissen : (A*sin(wt))''=-w²*A*sin(wt) und (B*cos(wt))''=-w²*B*cos(wt) und jede Linearkombination von Lösungen einer linearen Dgl ist wieder Lösung, reicht das? und mit dem Additionstheorem kannst du C*cos(wt+φ) auch dazu umformen

---

Mit DGLs hatten wir noch nicht großartig zu tun fängt jetzt erst an also gehe ich mal davon aus dass wir das mit dem Additionstheorem schaffen müssen.

Kurzer Check : 

C = sqrt(A²+B² ) 

φ = arctan (- A /B)    ??