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Berechnung der kinetischen Energie eines Pendelsystems
Die kinetische Energie (\(T\)) eines Systems beschreibt die Energie, die aufgrund der Bewegung seiner Teile gespeichert ist. Im Falle des vorgegebenen Pendelsystems setzt sich diese Energie aus drei Komponenten zusammen: der Translationsbewegung des Massenschwerpunktes, der Rotationsbewegung des Pendelarms und einer Zusatzbewegung, die aus der Kopplung von Translation und Rotation resultiert. Die Gleichung für die kinetische Energie lautet:
\(
T = m \dot{u}^2 + \frac{4}{3} m l^2 \dot{\varphi}^2 + 2ml\dot{u}\dot{\varphi}\cos\varphi
\)
Komponenten der kinetischen Energie
- Der erste Term \(m \dot{u}^2\) repräsentiert die kinetische Energie der Translationsbewegung entlang der vertikalen Achse. Hier ist \(m\) die Masse des Pendels und \(\dot{u}\) die Geschwindigkeit dieser vertikalen Bewegung.
- Der zweite Term \(\frac{4}{3} m l^2 \dot{\varphi}^2\) steht für die Rotationsenergie des Pendels um seinen Drehpunkt. Dabei ist \(l\) die Länge des Pendelarms und \(\dot{\varphi}\) die Winkelgeschwindigkeit der Rotation. Der Faktor \(\frac{4}{3}\) kommt von der Massenverteilung im Pendel, vorausgesetzt, das Pendel kann als dünner, homogener Stab angenommen werden, dessen Trägheitsmoment \(J = \frac{1}{3}ml^2\) ist. Für die Rotationsenergie verwenden wir \(E_{rot} = \frac{1}{2}J\omega^2\), wodurch sich \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}ml^2 \times 2 = \frac{4}{3} m l^2 \dot{\varphi}^2\) ergibt, indem \(\omega\) durch \(\dot{\varphi}\) ersetzt wird.
- Der dritte und letzte Term \(2ml\dot{u}\dot{\varphi}\cos\varphi\) entsteht aus der Kombination der Translations- und Rotationsbewegungen. Dabei beeinflusst die Position des Pendels (gegeben durch \(\varphi\)), wie stark die Translationsgeschwindigkeit \(\dot{u}\) und die Rotationsgeschwindigkeit \(\dot{\varphi}\) miteinander gekoppelt sind. Dieser Term berücksichtigt den Effekt, dass sich der Schwerpunkt des Pendels nicht nur nach oben und unten (Translation), sondern auch vor und zurück (aufgrund der Rotation) bewegt, was insbesondere bei variablem Winkel \(\varphi\) relevant wird. Der Cosinus dieses Winkels gibt an, wie stark die beiden Bewegungen gekoppelt sind; bei \(\varphi = 0\) (Pendel senkrecht nach unten) ist die Kopplung maximal.
Zusammenfassung
Die zusätzliche Komponente in der Gleichung für die kinetische Energie, \(2ml\dot{u}\dot{\varphi}\cos\varphi\), reflektiert also die kinetische Energie, die sich aus der kombinierten Translations- und Rotationsbewegung des Pendels ergibt. Sie nimmt insbesondere den sich ändernden Abstand zwischen Drehpunkt und Massenschwerpunkt aufgrund der Rotation bei gleichzeitiger Translation entlang der Bewegungsrichtung des Pendelschwerpunktes in Betracht.
