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Carnot-Prozess
Der Carnot-Prozess ist ein idealisierter Kreisprozess, der aus vier reversiblen Teilprozessen besteht: zwei Isothermen und zwei Adiabaten. Der Idealfall wird mit einem idealen Gas als Arbeitsmedium betrachtet.
a) Zeichnen Sie den Kreisprozess in ein p,V-Diagramm ein!
Die Zeichnung kann hier nicht direkt dargestellt werden, aber der Carnot-Zyklus in einem Druck-Volumen-Diagramm (p,V-Diagramm) sieht typischerweise wie folgt aus:
1.
Isotherme Expansion: Das Gas expandiert isotherm (bei konstanter Temperatur \(T_h = 700^\circ C\)). Während dieser Expansion nimmt das Gas Wärme aus der heißeren Quelle auf. Hier verläuft die Kurve von links nach rechts und unten nach oben, da die Temperatur konstant ist und das Volumen zunimmt.
2.
Adiabate Expansion: Das Gas expandiert weiter, diesmal jedoch ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung (adiabatisch). Die Temperatur des Gases fällt dabei auf \(T_c = 20^\circ C\). Diese Expansion wird durch eine nach oben rechts gekrümmte Kurve dargestellt.
3.
Isotherme Kompression: Nun wird das Gas isotherm komprimiert (bei \(T_c\)). Dabei gibt das Gas Wärme an die kühlere Quelle ab. Diese Phase wird durch eine Kurve von rechts nach links oben dargestellt.
4.
Adiabate Kompression: Zum Abschluss wird das Gas adiabatisch komprimiert, wodurch seine Temperatur wieder auf \(T_h\) ansteigt, ohne dass Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Diese Phase schließt den Kreislauf mit einer nach unten links gekrümmten Kurve.
b) In welchen Schritten ändert sich die Innere Energie U des idealen Gases? Berechnen Sie für diese Schritte die Wärmegrößen. Woher „stammen“ diese Wärmen?
Die innere Energie eines idealen Gases ändert sich nicht während der isothermen Prozesse, da alle zugeführte oder abgegebene Wärme in Arbeit umgewandelt wird. Änderungen der inneren Energie finden nur während der adiabatischen Schritte statt, aber diese sind nicht direkt durch Wärmezufuhr oder -abgabe bedingt, sondern durch die Arbeit, die das System leistet oder die an ihm verrichtet wird.
Für die isotherme Expansion (bei \(700^\circ C = 973 K\)) bzw. Kompression (bei \(20^\circ C = 293 K\)) lässt sich die Wärme \(Q\) berechnen als:
\(
Q = nRT \ln\frac{V_2}{V_1},
\)
wobei \(n = 3\) mol, \(R = 8.314\) J/molK, \(V_1 = 20 L = 0.02 m^3\) und \(V_2 = 40 L = 0.04 m^3\).
-
Isotherme Expansion bei 700°C:
\(
Q_h = 3 \cdot 8.314 \cdot 973 \cdot \ln\frac{0.04}{0.02}.
\)
\(
Q_h = 24927.402 \cdot \ln2 = 24927.402 \cdot 0.693 = 17275.072 \text{ J}.
\)
Die Wärme \(Q_h\) stammt aus der heißeren Quelle.
-
Isotherme Kompression bei 20°C:
\(
Q_c = 3 \cdot 8.314 \cdot 293 \cdot \ln\frac{0.02}{0.04}.
\)
\(
Q_c = 7318.978 \cdot (-\ln2) = -5065.205 \text{ J}.
\)
Die Wärme \(Q_c\) wird an die kühlere Quelle abgegeben.
c) In welchen Schritten fließt Wärme vom Gas an die Umgebung bzw. umgekehrt? Berechnen Sie für diese Schritte die jeweilige Arbeit.
Die Arbeit, die bei einer isothermen Expansion oder Kompression geleistet wird, entspricht genau der Wärme, die ein- oder abgeführt wird. Hier sind die Werte bereits im vorherigen Schritt berechnet worden. Die Wärme \(Q_h\) fließt vom heißen Reservoir ins Gas und wird in Arbeit umgewandelt. Die Wärme \(Q_c\), die vom Gas an das kalte Reservoir fließt, resultiert auch aus einer Arbeitsleistung.
d) Berechnen Sie den Wirkungsgrad.
Der Wirkungsgrad \(\eta\) eines Carnot-Prozesses wird berechnet als:
\(
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
\)
wobei \(T_c = 293 K\) und \(T_h = 973 K\).
\(
\eta = 1 - \frac{293}{973} = 1 - 0.3011 = 0.6989 \text{ oder } 69.89\%.
\)
Der Wirkungsgrad des Carnot-Zyklus unter den gegebenen Bedingungen beträgt 69.89%.
