Antwort mit KI erzeugt
Ablenkungswinkel der Helligkeitsmaxima 1. Ordnung
Um die gegebenen Aufgaben zu lösen, nutzen wir die Gleichung für die Beugung am Gitter:
\(
d \cdot \sin(\theta) = k \cdot \lambda
\)
Hierbei ist:
- \(d\) der Abstand zwischen den Gitterstrichen (in Metern oder Zentimetern, abhängig von den Einheiten der Wellenlänge),
- \(\theta\) der Ablenkungswinkel,
- \(k\) die Ordnung des Maximums (hier \(k=1\) für die 1. Ordnung),
- \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts (in derselben Einheit wie \(d\)).
a) Ablenkungswinkel für das rote und das violette Licht
Zuerst berechnen wir den Abstand \(d\) zwischen den Gitterstrichen, gegeben ist \(b = 1000\ \text{Striche/cm}\), also:
\(
d = \frac{1}{b} = \frac{1}{1000} \text{ cm} = 1 \times 10^{-3}\ \text{cm} = 1 \times 10^{-5}\ \text{m}
\)
Rotes Licht (\(\lambda_r = 700\ \text{nm} = 7 \times 10^{-7}\ \text{m}\)):
\(
d \cdot \sin(\theta_r) = k \cdot \lambda_r
\)
Setzen wir die Werte ein:
\(
1 \times 10^{-5}\ \text{m} \cdot \sin(\theta_r) = 1 \cdot 7 \times 10^{-7}\ \text{m}
\)
\(
\sin(\theta_r) = \frac{7 \times 10^{-7}\ \text{m}}{1 \times 10^{-5}\ \text{m}} = 0.07
\)
\(
\theta_r = \sin^{-1}(0.07) \approx 4.02^\circ
\)
Violettes Licht (\(\lambda_v = 400\ \text{nm} = 4 \times 10^{-7}\ \text{m}\)):
\(
1 \times 10^{-5}\ \text{m} \cdot \sin(\theta_v) = 1 \cdot 4 \times 10^{-7}\ \text{m}
\)
\(
\sin(\theta_v) = \frac{4 \times 10^{-7}\ \text{m}}{1 \times 10^{-5}\ \text{m}} = 0.04
\)
\(
\theta_v = \sin^{-1}(0.04) \approx 2.29^\circ
\)
b) Abstände der Helligkeitsmaxima 1. Ordnung auf einem Schirm
Die Position der Maxima auf dem Schirm kann mit der Formel
\(
L = D \cdot \tan(\theta)
\)
berechnet werden, wobei \(L\) der Abstand vom Mittelpunkt zum Maximum, \(D\) der Abstand vom Gitter zum Schirm (gegeben als 2m) und \(\theta\) der Ablenkungswinkel ist.
Für rotes Licht:
\(
L_r = 2\ \text{m} \cdot \tan(4.02^\circ) \approx 2\ \text{m} \cdot 0.0703 = 0.1406\ \text{m} = 14.06\ \text{cm}
\)
Für violettes Licht:
\(
L_v = 2\ \text{m} \cdot \tan(2.29^\circ) \approx 2\ \text{m} \cdot 0.0400 = 0.0800\ \text{m} = 8.00\ \text{cm}
\)
Da die Frage nach den Abständen der symmetrisch zur Mittellinie liegenden Maxima fragt, müssen wir bedenken, dass es auf beiden Seiten des Mittelpunkts jeweils ein Maximum geben wird. Daher ist der Gesamtabstand doppelt so groß:
- Für rotes Licht beträgt der Gesamtabstand circa \(2 \times 14.06\ \text{cm} = 28.12\ \text{cm}\).
- Für violettes Licht beträgt der Gesamtabstand circa \(2 \times 8.00\ \text{cm} = 16.00\ \text{cm}\).
