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Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses, die exakt bestimmbar sind
In der Quantenmechanik wird der Drehimpuls durch eine Reihe von Quantenzahlen beschrieben, die sich aus der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Systeme mit Rotationsinvarianz ergeben. Die wichtigsten Quantenzahlen, die mit dem Drehimpuls verbunden sind, sind:
- Die Hauptquantenzahl \(n\)
- Die Bahndrehimpulsquantenzahl \(l\)
- Die magnetische Quantenzahl \(m_l\)
Für den Gesamtdrehimpuls eines quantenmechanischen Systems können folgende Eigenschaften exakt bestimmt werden:
1.
Die Quantenzahl des Bahndrehimpulses (\(l\)): Dieser Wert definiert die Größe des Bahndrehimpulses durch die Beziehung \( |L| = \sqrt{l(l+1)}\hbar \), wobei \( |L| \) die Länge des Drehimpulsvektors und \( \hbar \) das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantum ist.
2.
Die Quantenzahl der Drehimpulskomponente in einer spezifischen Richtung, üblicherweise der z-Achse (\(m_l\)): Die z-Komponente des Bahndrehimpulses ist durch \( L_z = m_l \hbar \) gegeben. \(m_l\) kann Werte von \(-l\) bis \(+l\) in ganzzahligen Schritten annehmen.
Diese Quantenzahlen (\(l\) und \(m_l\)) folgen aus der Quantelung des Drehimpulses in der Quantenmechanik. Sie ergeben sich aus den strengen Lösungen der Schrödinger-Gleichung für Systeme, die kugelsymmetrisch sind oder ein Zentralfeld aufweisen.
Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpulses, die nicht exakt bestimmbar sind
Aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation kann man nicht alle Komponenten des Drehimpulses gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmen. Die Unschärferelation für den Drehimpuls sagt aus, dass die Messungen von zwei orthogonalen Komponenten des Drehimpulses nicht gleichzeitig beliebig genau festgelegt werden können. Wenn man also die z-Komponente des Drehimpulses (\(L_z\)) genau kennt, gibt es eine inhärente Unschärfe in den x- und y-Komponenten (\(L_x\) und \(L_y\)) und umgekehrt.
Das bedeutet, während man die Quantenzahl \(m_l\) der z-Komponente des Drehimpulses und die Gesamtgröße des Drehimpulses über \(l\) exakt bestimmen kann, bleibt eine fundamentale Unsicherheit in den exakten Werten der anderen Komponenten bestehen, solange eine der Komponenten festgelegt ist.
Zusammengefasst lassen sich in der quantenmechanischen Beschreibung des Drehimpulses die Quantenzahlen \(l\) und \(m_l\) exakt bestimmen, welches uns Informationen über die Größe und die z-Komponente des Drehimpulses geben. Eine exakte gleichzeitige Bestimmung aller drei Komponenten des Drehimpulses ist hingegen nicht möglich.
