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a) Prüfung, ob das Fachwerk statisch bestimmt ist
Ein Fachwerk wird als statisch bestimmt bezeichnet, wenn alle Stabkräfte sowie Auflagerreaktionen ausschließlich mit den Gleichgewichtsbedingungen der Statik (Summe aller Kräfte in horizontaler und vertikaler Richtung sowie Summe aller Momente um einen Punkt) ohne weitere Bedingungen berechenbar sind. Für ein ebenes Fachwerk lässt sich die Bedingung für statische Bestimmtheit mit der Formel ausdrücken:
\(
n = 2j - 3
\)
Hierbei ist \(n\) die Anzahl der Stäbe, \(j\) die Anzahl der Knotenpunkte.
Für das Fachwerk in der Aufgabe:
- Anzahl der Stäbe \(n = 7\)
- Anzahl der Knoten \(j = 5\)
Einsetzen in die Formel gibt:
\(
n = 2j - 3 \rightarrow 7 = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7
\)
Die Bedingung ist erfüllt, somit ist das Fachwerk statisch bestimmt.
b) Berechnung der Stabkräfte und Auflagerkräfte
Um die Auflagerkräfte und Stabkräfte zu berechnen, verwenden wir die Gleichgewichtsbedingungen der Statik: \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M = 0\).
Gegeben:
- Länge \(L\),
- Kraft \(F\).
Angenommen, das linke Auflager ist ein festes Lager (vertikale und horizontale Kraftkomponenten) und das rechte ein Loslager (nur vertikale Kraftkomponente), ausgehend von der üblichen Fachwerkskonfiguration.
1.
Bestimmung der Auflagerkräfte
- \( \sum F_y = 0\): Die Summe der vertikalen Kräfte muss null sein.
- \( \sum M = 0\): Betrachtet man das Moment um den Punkt des linken Auflagers, können wir die vertikale Auflagerkraft am rechten Auflager bestimmen.
Nehmen wir an, das Moment sei um das linke Auflager (A) berechnet:
\( F \cdot 2L - A_y \cdot 0 + B_y \cdot 3L = 0 \)
Da keine horizontalen Lasten und Kräfte vorhanden sind, ist die horizontale Auflagerkraft am linken Auflager gleich Null (\(A_x = 0\)). Um \(B_y\) zu berechnen:
\( B_y = \frac{F \cdot 2L}{3L} = \frac{2F}{3} \)
Mit \( \sum F_y = 0\):
\( A_y + B_y - F = 0 \)
\( A_y = F - B_y = F - \frac{2F}{3} = \frac{F}{3} \)
2.
Berechnung der Stabkräfte
Die Stabkräfte werden üblicherweise mit Methoden wie den Knotenpunktverfahren berechnet, indem die Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten angewandt werden. Eine detaillierte Berechnung der Stabkräfte erfordert die Betrachtung jedes einzelnen Knotenpunktes unter Berücksichtigung der Richtungen und Größen der angreifenden Kräfte. Ohne die spezifischen Winkelangaben und Längenverhältnisse in der Skizze ist es jedoch nicht direkt möglich, explizite Berechnungen für die Stabkraftwerte durchzuführen.
Für eine genaue Berechnung der Stabkräfte wäre es notwendig, die Gleichgewichtsbedingungen an jedem Knoten aufzustellen und das System von Gleichungen zu lösen. Dies umfasst normalerweise das Aufstellen von Gleichungen für \( \sum F_x = 0 \) und \( \sum F_y = 0 \) für jeden Knoten, was auf ein lösbares System führt, bei dem die unbekannten Stabkräfte die einzigen Unbekannten sind.
Das endgültige Ergebnis hängt von der genauen geometrischen Anordnung der Stäbe und der Richtungen der Kräfte ab. Typischerweise müssen Winkelbeziehungen in den Knoten aus der Geometrie des Fachwerks abgeleitet werden, um die Komponenten der Stabkräfte korrekt zu berechnen.
