Stabkräfte S1, S2 und S3 mit Hilfe des skizzierten Schnittes berechnen

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Stabkräfte S1, S2 und S3 mit Hilfe des skizzierten Schnittes berechnen

Beste Antwort

Hallo Tekto,

Kräfte werden addiert; und die Summe aller Kräfte in einem Punkt ist i.A. gleich 0, sonst würde sich was bewegen! Die Kräfte sind: $$\begin{aligned} S_1 &= |S_1| \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ -1\end{pmatrix} \\ S_2 &= |S_2| \frac{1}{\sqrt{8}} \begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} \\ S_3 &= |S_3| \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\end{aligned}$$ Die Addition aller Kräfte im Aufhängepunkt $D$ muss gleich 0 sein: $$S_1+S_2 + S_3 + F = 0$$ ...und wenn man nur die Z-Koordinate betrachtet, so steht da schon: $$|S_1| \frac{-1}{\sqrt{5}} -2G = 0 \quad \Rightarrow |S_1| = -2\sqrt{5} \, G$$ Lass Dich von der Kombination der Betragsstriche und des Minuszeichens nicht verwirren. Das bedeutet, dass es sich bei $S_1$ um einen Druckstab handelt.

Kommst Du mit dem Rest alleine klar?

Gruß Werner

Beantwortet 10 Jul 2018 von Werner-Salomon

Hallo Tekto,

kann es sein das du s3 in deiner Rechnung mit s1 auf dem Bild verwechselt hast?

Ja - hatte ich. Das Bild ist etwas unscharf und ich konnte die Indizes nicht genau entziffern. Tipp für's Fotografieren: halte die Kamera (das Smartphone) parallel zum Blatt Papier, das Du fotografierst. Also so, dass die Kamera senkrecht auf das Papier sieht.

Ich habe das korrigiert (s.o.).

Wäre es vielleicht für dich wieder möglich das du mir den ersten berechnen könntest, ...

ich glaubte dies getan zu haben! Steht alles in der Antwort: $$|S_1| = -2\sqrt{5} \, G \approx -4,47 G$$ und wenn Du es als Vektor brauchst: $$S_1 = -2\sqrt{5} \, G \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 0\\ 2\end{pmatrix}G$$

die zweite und dritte Zeile (Kräfte in X- und Y-Richtung) des obigen Gleichungssystem sieht so aus: $$\begin{aligned} -\frac{2}{\sqrt{5}} |S_1| - \frac{2}{\sqrt{8}} |S_2| - \frac{2}{\sqrt{5}} |S_3| &= 0\\ -\frac{2}{\sqrt{8}} |S_2| + \frac{1}{\sqrt{5}}|S_3|&= 0\end{aligned}$$ Aus der letzten Zeile folgt $|S_3|/\sqrt{5} = (2/\sqrt{8})|S_2|$. Das setze ich in die erste Gleichung ein: $$ -\frac{2}{\sqrt{5}} |S_1| - \frac{2}{\sqrt{8}} |S_2| - \frac{4}{\sqrt{8}}|S_2| = 0$$ $$\Rightarrow -\frac{2}{\sqrt{5}} |S_1| = \frac{6}{\sqrt{8}} |S_2|$$ $$\Rightarrow |S_2| = -\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{5}}|S_1| = -\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{5}} \left( -2\sqrt{5} \, G\right) = \frac23 \sqrt{8}\, G$$ und als Vektor $$S_2 = \frac23 \sqrt{8}\, G \frac{1}{\sqrt{8}} \begin{pmatrix} -2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/3\\ -4/3\\ 0\end{pmatrix}G$$ bleibt noch $S_3$: $$|S_3| = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{8}} |S_2| = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{8}} \frac23 \sqrt{8}\, G = \frac43 \sqrt{5}\, G$$ $$S_3 = \frac43 \sqrt{5}\, G \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -8/3\\ 4/3\\ 0\end{pmatrix} G$$

Zur Probe kann man nun noch mal die Kräftesumme in $D$ bilden. Das Ergebnis muss 0 sein.

Gruß Werner

Kommentiert 10 Jul 2018 von Werner-Salomon

Hallo Werner,

für die ausführliche Antwort möchte ich mich sehr bedanken!

Sie scheinen das sehr gut zu beherrschen, dafür Respekt!

Den Tipp mit der Kamera nehme ich zu Kenntnis, nochmals danke.

Ich werde es noch mal nachrechnen und schauen ob ich auf die Werte auch komme.

Noch mal zum Verständnis, haben Sie die -2G aus der Komponente Z, der F Kraft entnommen?

Hätte man beispielsweise in der Kraft F als Vektor F ( 2, 2 , 2) gegeben, statt wie auf dem Bild (0,0,-2G) müsste man diese dann jeweils für die x, y und z Komponente berechnen?

Weil ich habe leider ab dem Teil „und wenn man nur die Z-Koordinate betrachtet, so steht da schon:“

nicht ganz verstanden, was Sie gemacht haben.

Ich könnte mir erklären, woher sie die -2G haben, jedoch weiß ich nicht wieso bei S1= -1/ [wurzel5] besteht. Wir haben doch im ersten Schritt für S1=1/ Wurzel 5 erhalten.

Ich danke für die Antwort

Gruß Tekto

Kommentiert 10 Jul 2018 von Tekto

haben Sie die -2G aus der Komponente Z, der F Kraft entnommen?

Ja

Hätte man beispielsweise in der Kraft F als Vektor F ( 2, 2 , 2) gegeben, statt wie auf dem Bild (0,0,-2G) müsste man diese dann jeweils für die x, y und z Komponente berechnen?

auch Ja.

ich habe leider ab dem Teil „und wenn man nur die Z-Koordinate betrachtet, so steht da schon:“ nicht ganz verstanden.

Das bezog sich auf diese Gleichung: $$S_1 + S_2 + S_3 + F = 0$$ Jeder Summand ist ein Vektor mit x, y, und z-Komponente. Also könnte man auch schreiben: $$ \begin{pmatrix} S_{1x} \\ S_{1y} \\ S_{1z} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} S_{2x} \\ S_{2y} \\ S_{2z} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} S_{3x} \\ S_{3y} \\ S_{3z} \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ und dies sind drei Gleichungen für die X-, Y- und Z-Koordinate. Die letzte Zeile (bzw. Gleichung) ist die für die Z-Koordinate. $$S_{1z} + S_{2z} + S_{3z} + F_z = 0$$ da nun aber $S_{2z}$ und $S_{3z}$ gleich 0 sind, bleibt nur $S_{1z}$ als Unbekannte über. Womit man dann auch gleich $|S_1|$ berechnen kann, da $S_{1z} = (-1/\sqrt{5}) |S_1|$ (s.o.).

jedoch weiß ich nicht wieso bei S1= -1/ [wurzel5] besteht. Wir haben doch im ersten Schritt für S1=1/ Wurzel 5 erhalten.

Nein - da steht: $$S_1 = |S_1| \textcolor{#F00}{\frac{1}{\sqrt{5}}} \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ \colorbox{#ffff88}{-1}\end{pmatrix} = |S_1| \begin{pmatrix} -2/\sqrt{5}\\ 0\\ \textcolor{#F00}{-1/\sqrt{5}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} S_{1x}\\ S_{1y}\\ \textcolor{#F00}{S_{1z}}\end{pmatrix} $$

PS.: ein 'Du' reicht hier völlig aus ;-)

PPS.: Schule oder FH/Uni?

Kommentiert 10 Jul 2018 von Werner-Salomon

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