Hallo Line,
Die (Zug-)Leistung steigt quadratisch an, wenn die Zugkraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Wenn Arbeit (\(W\)) gleich Kraft (\(F\)) mal Weg (\(s\)) und Leistung (\(P\)) gleich Arbeit (\(W\)) pro Zeit (\(t\)) ist, dann ist $$P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot \frac{s}{t} = F \cdot v$$ ja - dann ist Leistung auch Kraft mal Geschwindigkeit (\(v\)). Wenn nun die Kraft (\(F\)) proportional zur Geschwindigkeit (\(v\)) ist - also \(F \propto v \) - dann ist \( P = F \cdot v \propto v \cdot v = v^2\).
Wenn sich die Geschwindigkeit verdreifacht, so verneunfacht sich die Leistung - wird demnach hier zu \(3^2 \cdot 7,5 \text{kW} = 67,5 \text{kW}\).
Alternativ kann man den Faktor \(k\) bestimmen, den die Zugkraft mit der Geschwindigkeit ansteigt.
$$F = k \cdot v \quad \Rightarrow k = \frac{F}{v} = \frac{\frac{P}{v}}{v} = \frac{P}{v^2} = \frac{7,5\text{kW}}{\left( 4 \text{km/h}\right)^2} = \frac{15}{32} \frac{\text{kW h}^2}{\text{km}^2}$$ (Bem. \(F=P/v\) folgt aus \(P=F \cdot v\) (s.o.) ) Nun ist
$$P = F \cdot v = k \cdot v \cdot v = k \cdot v^2 = \frac{15}{32} \frac{\text{kW h}^2}{\text{km}^2} \cdot \left( 12 \text{km/h}\right)^2 = 67,5\text{kW h}$$
Gruß Werner
