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Berechnung der Leistungsabgabe eines Menschen
Um die Leistungsabgabe \(P\) eines Menschen zu berechnen, der als ein schwarzer Strahler betrachtet wird, verwenden wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz. Dieses Gesetz besagt, dass die von einem Körper pro Zeiteinheit abgegebene Strahlungsleistung (P) direkt proportional zur vierten Potenz seiner absoluten Temperatur (\(T\)) ist. Die Gleichung lautet wie folgt:
\(P = \sigma \cdot A \cdot T^4\)
Dabei ist:
- \(P\) die Strahlungsleistung in Watt (W),
- \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante mit dem Wert \(5,670374419 \times 10^{-8} \, \text{Wm}^{-2}\text{K}^{-4}\),
- \(A\) die Oberfläche des Körpers in Quadratmetern (m²),
- \(T\) die absolute Temperatur des Körpers in Kelvin (K).
In dieser Aufgabe ist die Hautoberfläche \(A = 1,5 \, \text{m}^2\) und die Oberflächentemperatur \(305 \, \text{K}\). Um die Leistungsabgabe \(P\) zu berechnen, müssen wir jedoch die Differenz zwischen der Strahlungsleistung des Menschen und der Strahlungsleistung der Umgebung berücksichtigen, da die Umgebung ebenfalls strahlt. Die Umgebungstemperatur ist \(20,5 °C\), was umgerechnet \(293,65 \, \text{K}\) entspricht (umgerechnet, indem man zu den Celsiusgraden \(273,15\) addiert).
Die gesamte abgegebene Strahlungsleistung eines Menschen ist die Differenz der Strahlungsleistungen zwischen der Person und ihrer Umgebung:
\(P = \sigma \cdot A \cdot (T_{\text{Person}}^4 - T_{\text{Umgebung}}^4)\)
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:
\(P = 5,670374419 \times 10^{-8} \, \text{Wm}^{-2}\text{K}^{-4} \cdot 1,5 \, \text{m}^2 \cdot (305^4 - 293,65^4)\)
Rechnen wir nun die Werte aus:
\(P = 5,670374419 \times 10^{-8} \cdot 1,5 \cdot (8550285625 - 7440918401)\)
\(P = 5,670374419 \times 10^{-8} \cdot 1,5 \cdot 1109367224\)
\(P = 0,94279507767 \cdot 1109367224\)
\(P \approx 104,6 \, \text{W}\)
Die Leistungsabgabe des Menschen beträgt somit ungefähr \(104,6 \, \text{W}\).
