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Bewegungsgleichung für den Abbremsvorgang
Um die erste Aufgabe zu lösen, erkennen wir, dass die einzige Kraft, die während des Bremsvorgangs auf das Auto wirkt (abgesehen von der Vernachlässigung der Luftreibung), die Reibkraft ist. Diese Kraft kann durch das Produkt aus dem Reibungskoeffizienten \( \mu \) und der Normalkraft \( F_N \) ausgedrückt werden. Da das Auto auf einer horizontalen Oberfläche fährt, ist \( F_N = m \cdot g \), wobei \( m \) die Masse des Autos und \( g \) die Erdbeschleunigung ist. Daraus ergibt sich für die Reibkraft: \( F_R = \mu \cdot m \cdot g \).
Die Bewegungsgleichung unter Vernachlässigung der Luftreibung lautet also \( F = m \cdot a = -\mu \cdot m \cdot g \), wobei \( a \) die Beschleunigung des Fahrzeugs ist (negativ, da es abbremst).
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und Weg-Zeit-Gesetz
a) Um das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz zu finden, nutzen wir die Formel der Beschleunigung \( a = \frac{dv}{dt} \), wobei \( dv \) die Geschwindigkeitsänderung ist. Durch Einsetzen der Bewegungsgleichung erhalten wir:
\(
\frac{dv}{dt} = -\mu \cdot g
\)
Da diese Gleichung eine konstante Beschleunigung darstellt, integrieren wir sie bezüglich \( t \) um \( v(t) \) zu finden:
\(
v(t) = -\mu \cdot g \cdot t + v_0
\)
Um das Weg-Zeit-Gesetz zu finden, nutzen wir die Tatsache, dass \( \frac{dx}{dt} = v(t) \). Also:
\(
\frac{dx}{dt} = -\mu \cdot g \cdot t + v_0
\)
Integrieren wir dies bezüglich \( t \), erhalten wir \( x(t) \):
\(
x(t) = -\frac{1}{2} \mu \cdot g \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0
\)
Wobei wir annehmen können, dass der Anfangsweg \( x_0 = 0 \) ist, da er für die Aufgabenstellung irrelevant ist.
Bremsweg \( x_{b} \) in Abhängigkeit von \( v_{0} \) und \( \mu \)
c) Um den Bremsweg zu bestimmen, setzen wir die Endgeschwindigkeit \( v = 0 \) in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz \( v(t) = -\mu \cdot g \cdot t + v_0 \). Daraus berechnen wir die Bremszeit \( t_b \):
\(
0 = -\mu \cdot g \cdot t_b + v_0
\)
Daraus folgt:
\(
t_b = \frac{v_0}{\mu \cdot g}
\)
Den Bremsweg \( x_b \) erhalten wir, indem wir \( t_b \) in das Weg-Zeit-Gesetz einsetzen:
\(
x_{b} = -\frac{1}{2} \mu \cdot g \cdot t_b^2 + v_0 \cdot t_b
\)
Einsetzen von \( t_b = \frac{v_0}{\mu \cdot g} \):
\(
x_{b} = -\frac{1}{2} \mu \cdot g \cdot \left( \frac{v_0}{\mu \cdot g} \right)^2 + v_0 \cdot \frac{v_0}{\mu \cdot g}
\)
\(
= -\frac{1}{2} \frac{v_0^2}{\mu \cdot g} + \frac{v_0^2}{\mu \cdot g}
\)
\(
= \frac{v_0^2}{2\mu \cdot g}
\)
\(
x_{b} = \frac{v_0^2}{2 \cdot \mu \cdot g}
\)
Für \( v_0 = 100 \text{ km/h} \) (was \( \frac{100 \cdot 1000}{3600} = 27.78 \text{ m/s} \)) und \( \mu = 0.3 \), setzen wir diese Werte in die Formel ein:
\(
x_{b} = \frac{(27.78)^2}{2 \cdot 0.3 \cdot 9.81} = \frac{771.54}{5.886} \approx 131.08 \text{ Meter}
\)
Der Bremsweg unter diesen Bedingungen ist etwa 131 Meter.
