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Berechnung des Magnetfeldes der Erde basierend auf der Ablenkung einer Magnetnadel
Um zu zeigen, dass für den Ablenkungswinkel \(\alpha\) der Magnetnadel \(\tan \alpha = \frac{B(\text{Spule})}{B(\text{Erde, h})}\) gilt, betrachten wir, dass die resultierende magnetische Feldstärke in der Spule aus zwei Komponenten zusammengesetzt ist: dem Erdmagnetfeld \(B(\text{Erde, h})\) und dem von der Spule erzeugten Magnetfeld \(B(\text{Spule})\).
Die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes wirkt in Nord-Süd-Richtung, während das Magnetfeld der Spule, wenn sie in Ost-West-Richtung orientiert ist, in dieser Achse wirkt und somit orthogonal zum Erdmagnetfeld steht.
Die Gesamtmagnetfeldstärke \(\vec{B}_{\text{ges}}\) in der Spule ist die Vektorsumme aus \(B(\text{Erde, h})\) und \(B(\text{Spule})\). Diese setzt sich zusammen zu:
\(
\vec{B}_{\text{ges}} = B(\text{Erde, h}) \hat{i} + B(\text{Spule}) \hat{j}
\)
mit \(\hat{i}\) und \(\hat{j}\) als Einheitsvektoren in Ost-West- bzw. Nord-Süd-Richtung.
Der Ablenkungswinkel \(\alpha\), den die Magnetnadel aufgrund des Gesamtfelds zeigt, bildet sich durch das Verhältnis der Spulenfeldkomponente zur Erdmagnetfeldkomponente. Deshalb gilt für den Tangens des Ablenkungswinkels:
\(
\tan \alpha = \frac{B(\text{Spule})}{B(\text{Erde, h})}
\)
Berechnung des Magnetfeldes der Spule \(B(\text{Spule})\):
Das Magnetfeld einer Spule kann mit der Formel \(\mu_0 \frac{N I}{l}\) berechnet werden, wobei \(\mu_0\) die magnetische Feldkonstante (\(4 \pi \times 10^{-7}\) N/A²), \(N\) die Anzahl der Windungen, \(I\) der Strom in Ampere und \(l\) die Länge der Spule ist.
Gegeben sind:
- \(N = 100\) Windungen,
- \(I = 130\) mA \(= 0.130\) A,
- \(l = 0.5\) m.
Einsetzen der Werte liefert:
\(
B(\text{Spule}) = 4\pi \times 10^{-7} \frac{N \times I}{l} = 4\pi \times 10^{-7} \frac{100 \times 0.130}{0.5} \approx 1.03 \times 10^{-5} \text{ T}
\)
Lösung der Gleichung für \(B(\text{Erde, h})\):
Mit \(\tan \alpha = \frac{B(\text{Spule})}{B(\text{Erde, h})}\) und \(\alpha = 60°\), folgt:
\(
\tan 60° = \frac{1.03 \times 10^{-5} \text{ T}}{B(\text{Erde, h})}
\)
\(\tan 60° = \sqrt{3}\), also:
\(
\sqrt{3} = \frac{1.03 \times 10^{-5} \text{ T}}{B(\text{Erde, h})}
\)
Umstellen dieser Gleichung gibt:
\(
B(\text{Erde, h}) = \frac{1.03 \times 10^{-5} \text{ T}}{\sqrt{3}} = \frac{1.03 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} \approx 5.95 \times 10^{-6} \text{ T}
\)
Somit beträgt die Horizontalkomponente des Erdmagnetfeldes \(B(\text{Erde, h}) \approx 5.95 \times 10^{-6} \text{ Tesla}\).
