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Berechnung von \(B_h\) und der Stärke des B-Feldes der Erde
Um die horizontalen Komponente des Erdmagnetfeldes \(B_h\) und die Gesamtstärke des magnetischen Feldes der Erde zu berechnen, folgen wir einem systematischen Ansatz. Wir nehmen an, dass das von der Spule erzeugte magnetische Feld (\(B_{\text{Spule}}\)) und das horizontale Magnetfeld der Erde (\(B_h\)) zusammen die Kompassnadel um 60º drehen. Der Inklinationswinkel \(i = 70^\circ\) gibt an, wie stark das Erdmagnetfeld zur Horizontalen geneigt ist, und ist für die Bestimmung der Gesamtstärke des Erdmagnetfeldes wesentlich.
Schritt 1: Berechnung von \(B_{\text{Spule}}\)
Die magnetische Feldstärke \(B\) im Inneren einer langen Spule wird gegeben durch die Formel:
\(B_{\text{Spule}} = \mu_0 \frac{N \cdot I}{l}\)
wo \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, \text{Tm/A}\) die magnetische Feldkonstante, \(N\) die Windungszahl, \(I\) die Stromstärke durch die Spule und \(l\) die Länge der Spule ist.
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\(B_{\text{Spule}} = 4\pi \times 10^{-7} \frac{100 \cdot 0.130}{0.5} = 4\pi \times 10^{-7} \times 26 = 104\pi \times 10^{-7}\, \text{T}\)
Schritt 2: Verständnis der Winkeldrehung
Da die Kompassnadel um 60º aus der Nordrichtung gedreht wurde, wissen wir, dass das Verhältnis der magnetischen Felder \(B_{\text{Spule}}\) und \(B_h\) der Tangens des Drehwinkels ist (da dies die resultierende Wirkung einer Rechtwinkelkomponente \(B_{\text{Spule}}\) auf \(B_h\) ist):
\(\tan(60^\circ) = \frac{B_{\text{Spule}}}{B_h}\)
Da wir \(B_{\text{Spule}}\) bereits berechnet haben, können wir nach \(B_h\) umstellen und ausrechnen:
\(B_h = \frac{104\pi \times 10^{-7}}{\tan(60^\circ)}\)
Wir verwenden \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\):
\(B_h = \frac{104\pi \times 10^{-7}}{\sqrt{3}}\)
\(B_h = \frac{104\pi \times 10^{-7}}{1.732}\)
Nach der Berechnung:
\(B_h \approx 60\pi \times 10^{-7} \, \text{T} = 6 \times 10^{-5}\, \text{T}\)
Schritt 3: Bestimmung der Gesamtstärke des B-Feldes der Erde
Die totale magnetische Feldstärke \(B_{\text{Erde}}\) kann unter Verwendung des Inklinationswinkels \(i\) und der horizontalen Komponente \(B_h\) ermittelt werden. Das Verhältnis zwischen \(B_h\) und \(B_{\text{Erde}}\) ist der Kosinus des Inklinationswinkels:
\(\cos(i) = \frac{B_h}{B_{\text{Erde}}}\)
Umstellen nach \(B_{\text{Erde}}\) gibt:
\(B_{\text{Erde}} = \frac{B_h}{\cos(70^\circ)}\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(B_{\text{Erde}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{\cos(70^\circ)}\)
Wir verwenden \(\cos(70^\circ) = 0.342\):
\(B_{\text{Erde}} = \frac{6 \times 10^{-5}}{0.342} \approx 1.75 \times 10^{-4}\, \text{T}\)
Zusammenfassung:
Die horizontale Komponente des Erdmagnetfeldes \(B_h\) beträgt ungefähr \(6 \times 10^{-5}\, \text{T}\) und die Gesamtstärke des magnetischen Feldes der Erde \(B_{\text{Erde}}\) beträgt ungefähr \(1.75 \times 10^{-4}\, \text{T}\).
