Hallo deger,
Die Geschwindigkeit \(80\text{km/h}\) entspricht \((80/3,6) \text{m/s} \). D.h. das Auto legt in der Schrecksekunde $$s(1\text{s})= v_0 \cdot 1 \text{s} = (80/3,6) \text{m} \approx 22,2 \text{m}$$ zurück. Danach verzögert das Auto mit einer konstanten Beschleunigung von \(9 \text{m/s}^2\) - demnach ist ab hier die Geschwindigkeit \(v\) des Wagens in Abhängigkeit nach der Zeit \(t\):
$$v(t) = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot (t-1\text{s}) + v_0$$ wobei \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit des Wagens ist. Er kommt also nach \(t_s\) zum Stehen:
$$v(t_s) = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot (t_s-1\text{s}) + v_0 = 0 \quad \Rightarrow t_s = \frac{v_0}{ 9 \frac{\text{m}}{\text{s}}} + 1\text{s}$$ Bei \(v_0= 22,2\text{m/s} \) ist das \(t_s \approx 3,47 \text{s}\). Der Weg \(s\) ist das Integral der Geschwindigkeit über der Zeit \(t\) - also hier:
$$\begin{aligned}s(t) &= - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac12 (t-1\text{s})^2 + v_0(t - 1\text{s}) + s(1\text{s}) \\ & = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac12 (t-1\text{s})^2 + v_0 \cdot t \end{aligned}$$
Der Anhalteweg \(s(t_s)\) ist demnach:
$$s(t_s) = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac12 (2,47 \text{s})^2 + \frac{80}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 3,47 \text{s}\approx 49,7\text{m}$$
Bei einem \(v_0=50\text{km/h}\) wäre \(t_s = 2,54 \text{s}\) und der Anhalteweg:
$$s(t_s) = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac12 (1,54 \text{s})^2 + \frac{50}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 2,54 \text{s}\approx 24,6\text{m}$$
Aus der Wegformel \(s(t)\) folgt die Zeit \(t_k\) bis zur Kollision mit dem Hindernis \(s(t_k)=35\text{m}\):
$$s(t_k) = - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac12 (t_k-1\text{s})^2 + v_0 \cdot t_k = 35\text{m} \quad \Rightarrow t_k \approx 1,664\text{s}$$ Die Geschwindigkeit des Autos ist dann noch
$$\begin{aligned}v(t_k) &= - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot (t_k-1\text{s}) + v_0 \\ &= - 9 \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot (1,664\text{s}-1\text{s}) + \frac{80}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}} \\ &\approx 16,2 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 58,5 \frac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned}$$ Gruß Werner
