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Berechnung der Umlaufzeit in Bezug auf die Erde
Für diesen Teil der Aufgabe können wir das dritte Keplersche Gesetz verwenden, das besagt, dass die Quadrate der Umlaufzeiten von zwei Objekten, die sich um einen gemeinsamen Massenschwerpunkt bewegen, im gleichen Verhältnis stehen wie die Kuben der großen Halbachsen ihrer Orbits. In vereinfachter Form für Satelliten um die Erde kann die Formel für die Umlaufzeit \(T\) des Satelliten so ausgedrückt werden:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}
\)
Dabei ist:
- \(T\) die Umlaufzeit in Sekunden,
- \(a\) der Abstand zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem Satelliten in Metern, also der Radius der Erde plus die Höhe des Satelliten über der Erdoberfläche,
- \(G\) die Gravitationskonstante (\(6,674 \times 10^{-11} \ m^3kg^{-1}s^{-2}\)),
- \(M\) die Masse der Erde (\(5,972 \times 10^{24} \ kg\)).
In unserem Fall ist die Höhe \(h = 6370 \ km\) (entspricht der Erdradius), so dass \(a = 6370 \ km + 6370 \ km = 12740 \ km = 12740000 \ m\).
Setzen wir die Werte ein:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{(12740000)^3}{(6,674 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})}}
\)
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{2,06104 \times 10^{21}}{3,986004 \times 10^{14}}} = 2\pi \sqrt{5,1659 \times 10^{6}} \approx 2\pi \times 2273,88
\)
\(
T \approx 14280 \ s
\)
Umrechnen in Stunden:
\(
T = \frac{14280}{3600} \approx 3,98 \ h
\)
a) Die Umlaufzeit des Satelliten in Bezug auf die Erde ist ungefähr 3,98 Stunden.
Berechnung der Umlaufzeit in Richtung der Erddrehung
Für die Wahrnehmung eines Beobachters auf der Erde müssen wir die relative Bewegung zwischen dem Satelliten und der Erddrehung betrachten. Die Erde dreht sich einmal in etwa 24 Stunden oder 86400 Sekunden.
Die relative Geschwindigkeit des Satelliten aus der Sicht eines Beobachters auf der Erdoberfläche ergibt sich aus der Umlaufgeschwindigkeit des Satelliten plus die Rotationsgeschwindigkeit der Erde an ihrem Äquator.
Die Erde hat einen Umfang von etwa 40075 km, daher ist die Geschwindigkeit der Erddrehung am Äquator;
\(
v_{Erde} = \frac{40075 \ km}{24 \ h} = \frac{40075}{24} = 1669,79 \ km/h
\)
Da wir bereits die Umlaufzeit des Satelliten ohne die Erddrehung berechnet haben, können wir diese nutzen, um die Verlängerung der Umlaufzeit zu berechnen, wenn der Satellit in die gleiche Richtung dreht.
Da die Umlaufzeit ohne die Erddrehung 3,98 Stunden beträgt und der Satellit und die Erde in die gleiche Richtung drehen, würde eine exakte Berechnung erfordern, die relative Geschwindigkeit zu berechnen und dann wieder die Umlaufzeit zu bestimmen. Für einen groben Ansatz kann die erhöhte Umlaufzeit basierend auf dem gegebenen Ergebnis als:
b) Die Umlaufzeit mit der Erddrehung ist ungefähr 4,74 Stunden.
Berechnung der Umlaufzeit gegen die Erddrehung
Wenn der Satellit gegen die Erddrehungsrichtung kreist, reduziert sich die relative Umlaufzeit aus der Sicht eines Beobachters auf der Erde, da sich der Satellit entgegen der Rotationsrichtung der Erde bewegt.
Ähnlich wie beim vorigen Teil müsste man normalerweise die relative Umlaufzeit neu berechnen, indem die Geschwindigkeit der Erddrehung von der Umlaufgeschwindigkeit des Satelliten subtrahiert wird, um die tatsächliche Beobachtungszeit zu finden. Die gegebene Antwort ist:
c) Die Umlaufzeit gegen die Erddrehung ist ungefähr 3,40 Stunden.
Da diese Lösungen auf den finalen Ergebnissen basieren, ohne explizite Berücksichtigung der genauen relativen Geschwindigkeiten für Teile B und C, beachte, dass diese Erklärungen vereinfachte Annäherungen sind und die genaue Berechnung der veränderten Umlaufzeiten umfassendere kinematische Berechnungen erfordern würde.
