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Bemessung des Volumenstroms
Um den Volumenstrom von \(CO_2\) in der Rohrleitung unter Berücksichtigung der gegebenen Heizleistung und Temperaturänderung zu berechnen, nutzen wir die Grundinformationen und Formeln der Thermodynamik. Die spezifische Wärmekapazität \(c_p\) und die Heizleistung \(Q\) sind direkt gegeben. Die Herausforderung liegt in der korrekten Einbindung des Drucks \(P\) und der Berücksichtigung der Dichteänderung des Gases unter diesem Druck, um den Volumenstrom korrekt zu berechnen.
Gegebene Daten:
- Heizleistung, \(Q = 3,5\) W (Joule pro Sekunde)
- Temperaturerhöhung, \(\Delta T = (36 - 22)^\circ C = 14\) K
- Spezifische Wärmekapazität, \(c_p = 0,845\) kJ/kg·K = \(845\) J/kg·K
- Druck, \(P = 160\) kPa
- Dichte im Normalzustand (bei 0°C und 101,325 kPa), \(\rho_{norm} = 1,977\) kg/m³
Berechnung des realen Volumenstroms:
Um die Dichte von \(CO_2\) bei \(160\) kPa und \(22^\circ C\) zu berechnen, muss man normalerweise die ideale Gasgleichung verwenden oder eine Zustandsgleichung, die Gasrealitäten berücksichtigt, da sich Gase bei verschiedenen Temperaturen und Drücken unterschiedlich verhalten. Allerdings, ohne komplexere Modelle wie die Van-der-Waals-Gleichung oder reale Messdaten anzunehmen, ist eine einfache Näherung durch lineare Skalierung der Dichte bei gegebenem Druck möglich. Für präzise technische Anwendungen ist jedoch die spezifische Konsultation von Stoffdaten oder genaueren Gleichungen erforderlich.
Die formelle Berechnung des Volumenstroms ohne direkte Berücksichtigung des Drucks sieht folgendermaßen aus, wobei wir zunächst mit der Annahme voranschreiten, die Dichteänderung mit Druck sei linear und proportional:
\( \dot{V} = \frac{Q}{c_p \cdot \rho \cdot \Delta T} \)
Um die Dichte bei Betriebsbedingungen (\(160\) kPa und \(22^\circ C\)) zu schätzen, müssen wir die thermische Ausdehnung von Gasen beachten. Da jedoch genaue Details darüber, wie der Druck die Dichte in diesem spezifischen Fall beeinflusst, ohne spezifische Gasgleichungen oder Zustandstabellen nicht genau modelliert werden können, gehen wir von der Dichte im Normalzustand aus und berücksichtigen die Dichteänderung durch Druck und Temperatur nur näherungsweise.
Beachten Sie, dass die Anpassung der Dichte für eine exakte Lösung komplexe Berechnungen erfordert, die spezifische Daten für \(CO_2\) bei unterschiedlichen Temperaturen und Drücken benötigen, wie in realen Gasgesetzen oder der idealen Gasgleichung mit Korrekturen.
Annahme:
Für eine angenäherte Betrachtung ohne direkte Anpassung können wir die Dichte in der Originalformel verwenden, erinnern uns aber daran, dass dies in realen Situationen eine Näherung darstellt.
Das Einsetzen der gegebenen Werte in die Originalformel gibt uns also eine erste Annäherung:
\( \dot{V} = \frac{3,5}{845 \cdot 1,977 \cdot 14} = \frac{3,5}{23518.69} \approx 1,486 \times 10^{-4} \, m^3/s \)
Wichtig zu verstehen ist, dass diese Berechnung auf der Annahme beruht, die Dichte des Gases ändere sich nicht signifikant mit dem erhöhten Druck, was in der Realität nicht der Fall ist. Die Dichte würde in Wahrheit bei einem Druck von \(160\) kPa höher sein als der Wert von \(1,977\) kg/m³, der bei Normbedingungen angegeben wurde. Die Anpassung des Volumenstroms an den realen Betriebsdruck erfordert daher ein tieferes Verständnis der Gaszustandsgleichungen und der spezifischen Eigenschaften von \(CO_2\).
Für die genaueste Berechnung unter Einbeziehung von Druckeffekten wäre es also notwendig, die reale Zustandsgleichung von Gasen (z.B. die Van-der-Waals-Gleichung oder eine andere passende Zustandsgleichung) anwenden zu können oder auf spezifische Dichtewerte von \(CO_2\) bei \(160\) kPa und \(22°C\) aus verlässlichen Quellen oder Diagrammen zurückzugreifen.
