Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Wir gehen von einer linearen Beziehung \(O2(x) = mx + b\) aus, wobei \(x\) die Tiefe in Metern und \(O2(x)\) den Sauerstoffgehalt in mg/l bezeichnet. \(m\) ist die Steigung der Geraden, und \(b\) der y-Achsenabschnitt, der den Sauerstoffgehalt an der Oberfläche (bei \(x = 0\)) angibt. Zur Lösung der Aufgabe nutzen wir die gegebenen Datenpunkte.
Gegebene Punkte:
1. Punkt \((20, 5,6)\) für 20 m Tiefe
2. Punkt \((50, 4,2)\) für 50 m Tiefe
a) Berechnung des Sauerstoffgehalts für 40 m Tiefe:
Zuerst ermitteln wir die Steigung \(m\) der Geraden, die definiert ist als:
\(m = \frac{{O2(x_2) - O2(x_1)}}{{x_2 - x_1}}\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(m = \frac{4,2 - 5,6}{50 - 20} = \frac{-1,4}{30} = -\frac{7}{150}\)
Mit der Steigung können wir nun den y-Achsenabschnitt \(b\) berechnen. Wir suchen ein \(b\), so dass die Gleichung mit einem der gegebenen Punkte, z.B. \(x_1=20\) und \(O2(x_1)=5,6\), erfüllt ist:
\(5,6 = -\frac{7}{150} \cdot 20 + b\)
Lösen nach \(b\):
\(b = 5,6 + \frac{7}{150} \cdot 20 = 5,6 + \frac{28}{30} = 5,6 + \frac{14}{15}\)
\(b = 5,6 + 0,9333\approx 6,5333\)
Die Gleichung für den Sauerstoffgehalt in Abhängigkeit von der Tiefe (in m) lautet somit:
\(O2(x) = -\frac{7}{150}x + 6,5333\)
Nun zur Berechnung des Sauerstoffgehalts für 40 m Tiefe:
\(O2(40) = -\frac{7}{150}\cdot 40 + 6,5333 \)
\(= -\frac{7}{150} \cdot 40 + 6,5333 = -\frac{28}{15} + 6,5333\)
\(= -1,8667 + 6,5333 = 4,6666\, \text{mg/l}\)
b) Funktion \(O2(x)\) und grafische Darstellung:
Die Funktion lautet \(O2(x) = -\frac{7}{150}x + 6,5333\). Für die grafische Darstellung müsste diese Funktion in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, wobei die x-Achse die Tiefe in Metern (0 bis etwas über 50 m) und die y-Achse den Sauerstoffgehalt in mg/l darstellt.
c) Tiefe für einen Sauerstoffgehalt unter 5 mg/l:
Gesucht ist das \(x\), für das \(O2(x) < 5\) gilt. Wir setzen \(O2(x) = 5\) und lösen nach \(x\):
\(5 = -\frac{7}{150}x + 6,5333\)
Umstellen nach \(x\):
\(x = \frac{6,5333 - 5}{-\frac{7}{150}} = \frac{1,5333}{\frac{7}{150}}\)
\(x = 1,5333 \cdot \frac{150}{7} \approx 32,8571\)
Das bedeutet, der Sauerstoffgehalt fällt unter 5 mg/l bei einer Tiefe von knapp über 32,86 Metern.
d) Theoretischer Sauerstoffgehalt unmittelbar unter der Wasseroberfläche:
Der Sauerstoffgehalt an der Wasseroberfläche (bei \(x = 0\)) wird durch den y-Achsenabschnitt \(b\) repräsentiert:
\(O2(0) = 6,5333\, \text{mg/l}\)
Unmittelbar unter der Wasseroberfläche beträgt der Sauerstoffgehalt also theoretisch \(6,5333\, \text{mg/l}\).