Schwerefeld der Erde - Integralrechnung

Question

Hallo,

Folgendes ist gegeben:

Die Anziehungskraft, die die Erde auf einen Körper ausübt, kann nach dem Newton'schen Gravitationsgesetz durch folgende Formel berechnet werden:

F(r) = m*g*R²/r²

F: Kraft in Newton (N)
r: Abstand des Körpers vom Erdmittelpunkt in m
m: Masse des Körpers in kg
g = 9,81 m/s²: Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche
R = 6,37*10⁶ m: Erdradius

Die Energie in Joule (J), die nötig ist, um einen Gegenstand von der Entfernung r₁ in die Entfernung r₂ zu transportieren, kann durch integrieren berechnet werden.

a) Geben Sie an, welche Art von Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Anziehungskraft besteht.

b) Erstellen Sie eine Formel für die Energie in Abhängigkeit von r₁ und r₂.

c) Berechnen Sie, welche Energie benötigt wird, um einen Satelliten mit der Masse 1 t von der Erdoberfläche in die doppelte Entfernung zu bringen.

d) Argumentieren Sie, warum man nicht unendlich viel Energie braucht, wenn die Entfernung unendlich groß werden soll.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo DramaQueen,

zu a) die Anziehungskraft fällt in der zweiten Potenz mit der Entfernung vom Erdmittelpunkt ab. D.h. Wenn sich die Entfernung verdoppelt, beträgt die Anziehungskraft nur noch ein Viertel des vorherigen Wertes.

zu b) Die Energie, die man aufwenden muss um eine Masse von \(r_1\) nach \(r_2\) zu bringen, ist das Integral über Kraft mal Weg

$$E = \int_{r_1}^{r_2} m\cdot g \cdot \frac{R^2}{r^2} \space \text{d}r = m \cdot g \cdot R^2 \cdot \left[ - \frac{1}{r}\right]_{r_1}^{r_2} = m \cdot g \cdot R^2 \cdot \left( \frac{1}{r_1}- \frac{1}{r_2}\right)$$

zu c) setze \(m=1000\text{kg}\), \(r_1=R\) und \(r_2=2R\) in obige Gleichung

$$E= 1000\text{kg} \cdot g \cdot R^2 \cdot \left( \frac{1}{R}- \frac{1}{2R}\right) = 1000\text{kg} \cdot g \cdot \frac{R}{\colorbox{#FFFF00}{2}} \approx \colorbox{#FFFF00}{3,12} \cdot 10^{7} \text{kJ}$$

.. was natürlich nur Sinn macht, wenn man den Satelliten mit einem Fahrstuhl transportiert!

zu d) Bei unendlich weiter Entfernung geht \(r_2 \to \infty \). Das Integral (s.o.) nimmt dann aber einen endlichen Wert an.

Gruß Werner

Edit: Ergebnis korrigiert (gelbe Markierung)

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung!

Allerdings scheint wohl bei c) etwas noch nicht ganz zu stimmen. Im Lösungsheft steht 3,1 ·10^7 J.

Ist die Lösung im Heft evtl falsch?

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"Allerdings scheint wohl bei c) etwas noch nicht ganz zu stimmen" Ja - ich habe den Faktor 1/2 schlicht unterschlagen, da \(1/R-1/(2R)=1/(2R)\). D.h. das Ergebnis ist

$$1000\text{kg} \cdot g \cdot \frac{R}{2} \approx 3,12 \cdot 10^{10}\text{J} = 3,12 \cdot 10^{7}\text{kJ}$$ kann es sein, dass im Lösungsheft \(3,1 \cdot 10^7 \colorbox{#ffff00}{k} \text{J}\) steht?

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Hallo,

nein da ist nur von J (Joule) die Rede :-) 

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Das ist wohl ein Druckfehler im Lösungsbuch.

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Super. Vielen Dank für die Mühe! 

Answer 2

a) Geben Sie an, welche Art von Zusammenhang zwischen der Entfernung und der Anziehungskraft besteht.

Die Frage bzw dessen Hintergrund kommt relativ
häufig vor deshalb hier zur Erbauung ein Beispiel
aus der Optik. In der Mitte soll eine Kerze sein.

Eine Lichtmenge fällt im Abstand 1 auf Fläche von der
Größe 1.
Im zweifachen Abstand fällt diese Lichtmenge auf die
Fläche 4
Im dreifachen Abstand fällt diese Lichtmenge auf die
Fläche 9.

1 / 1
1 / (2^2)
1 / (3^2)

Lichtmenge / r^2

Das Ganze kann durch die Oberflächenformel
einer gedachten Kugel abgeleitet werden

A = 4 * π * r^2

Die Oberfläche wächst mit r^2.
Intensität = Ausgangswert / A