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Gravitationskraft eines mit konstanter Massendichte belegten Kurvenstücks auf eine Punktmasse
Um die Gravitationskraft zu berechnen, die ein mit konstanter Massendichte \( \varrho \) belegtes Kurvenstück \( \gamma \) auf eine Punktmasse in \( x_{0} \) ausübt, verwenden wir die gegebene Formel:
\(
F\left(x_{0}\right)=m g \int \limits_{\gamma} \varrho(x) \frac{x-x_{0}}{\left|x-x_{0}\right|^{3}} d s
\)
wobei \( \gamma(t) \) die Parameterdarstellung des Kurvenstücks, \( ds \) das Bogenelement der Kurve und \( \varrho \) die Massendichte sind. \( g \) ist die Gravitationskonstante, und \( x_0 \) ist der Punkt, an dem wir die Kraft messen. Wir betrachten zwei spezifische Kurven \( \gamma \) und berechnen jeweils \( F(x_0) \) für \( x_0 = (0,0,0) \).
a) Kreislinie \( \gamma(t)=(\cos t, \sin t,-1)^{T}, 0 \leq t \leq 2 \pi \)
Die Parameterdarstellung des Kreises ist \( \gamma(t) = (\cos t, \sin t, -1) \) mit \( 0 \leq t \leq 2\pi \). Für den Bogen \( ds \), benutzen wir \( ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 0}dt = dt \), da \( dz/dt = 0 \) und \( \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} = 1 \).
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:
\(
F(x_0) = m g \varrho \int_0^{2\pi} \frac{(\cos t, \sin t, -1)-(0, 0, 0)}{((\cos t)^2 + (\sin t)^2 + (-1)^2)^{3/2}} dt
\)
\(
F(x_0) = m g \varrho \int_0^{2\pi} \frac{(\cos t, \sin t, -1)}{\sqrt{1 + 1}^3} dt = m g \varrho \int_0^{2\pi} \frac{(\cos t, \sin t, -1)}{2^{3/2}} dt
\)
Da der nominelle Term in der Integration symmetrisch für \( \cos t \) und \( \sin t \) über eine volle Periode von \( 0 \) bis \( 2\pi \) ist, werden diese Terme beim Integrieren zu \( 0 \). Für den \( z \)-Komponenten ergeben sich:
\(
F_z = m g \varrho \int_0^{2\pi} -\frac{1}{2^{3/2}} dt = -\frac{m g \varrho}{2^{3/2}} [t]_0^{2\pi} = -\frac{m g \varrho 2\pi}{2^{3/2}}
\)
Die vollständige Kraft ist \( F(x_0) = (0, 0, -\frac{m g \varrho 2\pi}{2^{3/2}}) \).
b) Spiralförmiges Kurvenstück \( \gamma(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, e^{t}\right)^{T}, 0 \leq t \leq 2 \pi \)
Für diese Kurve berechnen wir zunächst \( ds \) als:
\(
ds = \sqrt{\left(e^{t}(-\sin t) + e^t \cos t\right)^2 + \left(e^{t}\cos t + e^t \sin t\right)^2 + (e^t)^2}dt
\)
\(
= \sqrt{2e^{2t} + e^{2t}}dt = \sqrt{3}e^t dt
\)
Dann ist die Gravitationskraft:
\(
F(x_0) = m g \varrho \int_0^{2\pi} \frac{(e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)-(0, 0, 0)}{((e^t \cos t)^2 + (e^t \sin t)^2 + (e^t)^2)^{3/2}} \sqrt{3}e^t dt
\)
\(
= m g \varrho \int_0^{2\pi} \frac{\sqrt{3}e^t(e^t \cos t, e^t \sin t, e^t)}{(3e^{2t})^{3/2}} dt
\)
\(
= \frac{m g \varrho}{3\sqrt{3}} \int_0^{2\pi} (\cos t, \sin t, 1) dt
\)
Für \( t \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \) werden die ersten beiden Komponenten (die Integrale von \( \cos t \) und \( \sin t \)) wieder \( 0 \), sodass die Kraft nur eine \( z \)-Komponente hat:
\(
F_{z} = \frac{m g \varrho}{3\sqrt{3}} [t]_0^{2\pi} = \frac{2\pi m g \varrho}{3\sqrt{3}}
\)
Also lautet die Gravitationskraft \( F(x_0) = (0, 0, \frac{2\pi m g \varrho}{3\sqrt{3}}) \).
Dies sind die Gravitationskräfte, die jeweils von der kreisförmigen Linie und dem spiralförmigen Kurvenstück auf eine Punktmasse in \( (0,0,0) \) ausgeübt werden.
