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Um die Verschiebungsdichte \(D\) und die elektrische Feldstärke \(E\) an der Kugeloberfläche zu berechnen, nutzen wir tatsächlich den Gauß'schen Satz, der auch als Satz von Gauss und Ostrogradski bekannt ist. Dieser Satz ist ein Grundpfeiler der Elektrostatik und vereinfacht die Berechnung von elektrischen Feldern und Verschiebungsdichten erheblich, besonders bei symmetrischen Anordnungen wie einer Kugel.
Grundlagen
Der Gauß'sche Satz im Vakuum lautet:
\(
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{encl}}}{\varepsilon_0}
\)
Hierbei ist \(\oint \vec{E} \cdot d\vec{A}\) das Oberflächenintegral des elektrischen Feldes \(E\), das über eine geschlossene Oberfläche \(A\) integriert wird, \(Q_{\text{encl}}\) ist die innerhalb der Fläche eingeschlossene Ladung und \(\varepsilon_0\) ist die elektrische Feldkonstante (\(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{F/m}\)).
Um die Verschiebungsdichte \(D\) zu berechnen, nutzen wir die Beziehung:
\(
D = \varepsilon_0 E
\)
Berechnung der elektrischen Feldstärke \(E\)
Da eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung vorliegt, nutzen wir den Gauß'schen Satz, um \(E\) an der Oberfläche zu berechnen. Wir betrachten eine konzentrische, sphärische Oberfläche mit dem Radius \(r = 35 \text{cm} = 0.35 \text{m}\) um die Ladung.
\(
\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = 4\pi r^2 E = \frac{Q}{\varepsilon_0}
\)
Also:
\(
E = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}
\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(
E = \frac{10^{-6} \text{C}}{4\pi (8.854 \times 10^{-12} \text{F/m}) (0.35 \text{m})^2}
\)
\(
E = \frac{10^{-6}}{4\pi (8.854 \times 10^{-12}) (0.1225)}
\)
\(
E = \frac{10^{-6}}{(3.14159265359 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.1225)}
\)
\(
E = \frac{10^{-6}}{3.4638966 \times 10^{-12}}
\)
\(
E \approx \frac{10^{-6}}{3.464 \times 10^{-12}} = \frac{1}{3.464 \times 10^{-6}} \approx 288.7 \text{ V/m}
\)
Berechnung der Verschiebungsdichte \(D\)
Nun, da wir \(E\) haben, können wir \(D\) berechnen:
\(
D = \varepsilon_0 E
\)
Einsetzen der Werte:
\(
D = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m} \times 288.7 \text{ V/m}
\)
\(
D = 2.556 \times 10^{-9} \text{ C/m}^2
\)
Zusammenfassend ist die elektrische Feldstärke \(E\) an der Oberfläche der Kugel \(288.7 \text{ V/m}\) und die Verschiebungsdichte \(D\) ist \(2.556 \times 10^{-9} \text{ C/m}^2\).
