Bei wieviel Grad Celsius läuft der Tank über, wenn er mit 19,5 Liter Benzin gefüllt wird?

Question

Ein Stahltank mit dem Volumen 20 L wird bei 12 °C mit 19,5 L Benzin gefüllt. Bei wieviel °C läuft er über ?

Ausdehnungkoeffizient Benzin 0,00110  1/K

                     ""                  Stahl 0,0000119 1/K

Comments

Ist das von Benzin der kubische Ausdehnungskoeffizient und von Stahl der lineare Ausdehnungskoeffizient?

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Würde uns so gegeben aus dem Tabellenbuch, dort steht bei flüssigen Stoffen Volumenausdehnungskoeffizent und bei Festen stoffen Längenausdehnungskoeffizient.

Answer 1

Das Volumen V des Benzins bzw. des Tanks nach der Temperaturänderung kann mit folgender Formel berechnet werden:

V = V₀ * (1 + γ * ΔT)

V₀ ... Ursprüngliches Volumen, γ ... Volumen-Ausdehnungskoeffizient, ΔT ... Temperaturänderung

Zu beachten ist, dass für Benzin γ gegeben ist, für Stahl aber der Längen-Ausdehnungskoeffizient α und γ ≈ 3 * α ist.

Um zu ermitteln, bei welcher Temperatur T der Tank überläuft, werden beide Volumen gleich gesetzt, die Gleichung nach ΔT aufgelöst und die Ausgangstemperatur addiert, also:

19,5 l * (1 + 11 * 10^-4 K^-1 * ΔT) = 20 l * (1 + 3 * 11,9 * 10^-6 K^-1 * ΔT)

ΔT ≈ 24,11 °C

T = 24,11 °C + 12°C = 36,11°C

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Ausdehnung von Flüssigkeiten und Festkörpern

Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der thermischen Ausdehnung von Stoffen lautet:

\( V = V_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T) \)

wobei:
- \(V\) das Endvolumen,
- \(V_0\) das Ausgangsvolumen,
- \(\alpha\) der lineare Ausdehnungskoeffizient (für Flüssigkeiten und Gase ist dies oft der Volumenausdehnungskoeffizient) und
- \(\Delta T\) die Temperaturänderung in Grad Celsius oder Kelvin.

Diese Formel müssen wir für sowohl Benzin als auch Stahl anwenden, um herauszufinden, bei welcher Temperatur der Tank überläuft.

Gegebene Werte:
- Volumen von Benzin \(V_{Benzin,0} = 19,5\) L
- Volumen des Tanks \(V_{Tank,0} = 20\) L
- Ausdehnungskoeffizient von Benzin \(\alpha_{Benzin} = 0,00110\) 1/K
- Ausdehnungskoeffizient von Stahl \(\alpha_{Stahl} = 0,0000119\) 1/K
- Anfangstemperatur \(T_0 = 12\) °C

Gesucht:
- Die Temperatur \(T\), bei der der Tank überläuft.

Lösung:

1. Formeln für beide Ausdehnungen aufstellen:

Für Benzin:
\( V_{Benzin} = V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T) \)

Für den Stahltank:
\( V_{Tank} = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T) \)

2. Überlaufbedingung festlegen:

Der Tank läuft über, wenn \(V_{Benzin} = V_{Tank}\).

Das setzen wir gleich:

\( V_{Benzin,0} \cdot (1 + \alpha_{Benzin} \cdot \Delta T) = V_{Tank,0} \cdot (1 + \alpha_{Stahl} \cdot \Delta T) \)

3. Nach \(\Delta T\) umformen:

\( 19,5 \cdot (1 + 0,00110 \cdot \Delta T) = 20 \cdot (1 + 0,0000119 \cdot \Delta T) \)

4. Gleichung vereinfachen:

\( 19,5 + 19,5 \cdot 0,00110 \cdot \Delta T = 20 + 20 \cdot 0,0000119 \cdot \Delta T \)

\( 19,5 + 0,02145 \cdot \Delta T = 20 + 0,000238 \cdot \Delta T \)

\(0,02145 \cdot \Delta T - 0,000238 \cdot \Delta T = 20 - 19,5\)

\( 0,021212 \cdot \Delta T = 0,5 \)

\( \Delta T = \frac{0,5}{0,021212} \)

\( \Delta T = 23,56 \text{ °C} \)

5. Endtemperatur berechnen:

Da die Ausgangstemperatur 12°C ist, berechnen wir die Endtemperatur als:

\( T = T_0 + \Delta T \)

\( T = 12 °C + 23,56 °C \)

\( T = 35,56 °C \)

Antwort: Der Tank läuft bei \(35,56\) °C über.