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Braunsche Röhre - Kondensator Spannung berechnen
Um die Aufgaben zu bearbeiten, müssen wir die grundlegende Formel für die Ablenkung eines Elektrons in einer Braunschen Röhre nutzen. Diese Ablenkung hängt von der Beschleunigungsspannung \(U_A\), der Kondensatorspannung \(U_y\), der Länge \(L\) des Ablenkkondensators, der Entfernung \(D\) von der Austrittsseite des Kondensators bis zum Schirm, und der Abstand \(d\) zwischen den Kondensatorplatten ab. Die spezifische Formel, die häufig verwendet wird, sieht so aus:
\( y = \frac{U_y \cdot L \cdot D}{2 \cdot d \cdot U_A} \)
Diese Formel geht davon aus, dass die Länge des Kondensators vergleichsweise klein ist und der Elektronenstrahl vor dem Eintritt in den Ablenkkondensator bereits beschleunigt wurde.
Aufgabe a) Berechnen Sie die Kondensatorspannung \(U_y\) für \(y = 5 cm\).
Gegeben:
- \(U_A = 250 V\)
- \(U_y = 45 V\) für \(y = 1.5 cm\)
Gesucht:
- \(U_y\) für \(y = 5 cm\)
Da die Beschleunigungsspannung \(U_A\) konstant bleibt und wir die Beziehung zwischen \(U_y\) und der Ablenkung \(y\) kennen, können wir die Proportionalität zwischen diesen Größen nutzen.
\( \frac{U_y}{y} = \text{konstant} \)
Ersetzen wir \(y\) mit den bekannten Werten, so erhalten wir die Konstante für die erste Messung:
\( \frac{45 V}{1.5 cm} = 30 \frac{V}{cm} \)
Nun lösen wir die Gleichung für die unbekannte Kondensatorspannung auf, wenn \(y = 5 cm\):
\( U_y = 30 \frac{V}{cm} \cdot 5 cm = 150 V \)
Aufgabe b) \(U_A\) wird auf 200 V reduziert. Berechnen Sie die Ablenkung \(y\) für \(U_y = 45 V\).
Gegeben:
- \(U_A = 200 V\) (reduzierte Beschleunigungsspannung)
- \(U_y = 45 V\)
Nun setzen wir diese Werte in unsere ursprüngliche Ablenkungsformel ein. Da wir \(L\), \(D\) und \(d\) nicht verändert haben und diese Größen nicht gegeben sind, können wir stattdessen die Proportionalität zwischen \(y\) und dem Verhältnis \(\frac{U_y}{U_A}\) verwenden:
\( y_{neu} = y_{alt} \cdot \frac{U_{A, alt}}{U_{A, neu}} \)
Da \(y_{alt} = 1.5 cm\) für \(U_{A, alt} = 250 V\), ergibt sich für die neue Ablenkung:
\( y_{neu} = 1.5 cm \cdot \frac{250 V}{200 V} = 1.875 cm \)
Berechnen Sie für \(y = 5 cm\) die gehörende Spannung \(U_y\) unter der neuen Beschleunigungsspannung.
Wir nutzen die Relation:
\( Uy_{neu} = \frac{y_{neu} \cdot 2 \cdot d \cdot U_{A, neu}}{L \cdot D} \)
Um \(Uy_{neu}\) zu berechnen, nutzen wir die gleiche proportionale Beziehung wie zuvor:
\( \frac{Uy_{neu}}{y_{neu}} = \frac{Uy_{alt}}{y_{alt}} = 30 \frac{V}{cm} \)
Daher:
\( Uy_{neu} = 30 \frac{V}{cm} \cdot 5 cm = 150 V \)
Wichtig zu beachten ist, dass diese spezifischen Berechnungen unter der Annahme erfolgen, dass \(L\), \(D\), und \(d\) konstant bleiben und nicht in den Rechnungen berücksichtigt werden mussten, da sie in der Aufgabenstellung nicht geändert wurden oder spezifische Werte dafür gegeben wurden.
