Antwort mit KI erzeugt
Lösung zur Linsenberechnung
Zur Bestimmung der Position des Bildes, das durch eine Meniskuslinse erzeugt wird, nutzen wir die Linsenmacherformel und die Linsengleichung. Die Linsenmacherformel erlaubt es uns, die Brennweite \(f\) der Linse zu berechnen, basierend auf den Krümmungsradien der Linsenoberflächen und dem Brechungsindex des Linsenmaterials (hier nicht gegeben, wird oft angenommen als \(n = 1,5\) für gewöhnliches Glas, aber ohne spezifische Information ist das nur eine Annahme). Anschließend verwenden wir die Linsengleichung, um die Bildweite \(v\) zu bestimmen.
Schritt 1: Berechnung der Brennweite \(f\) der Linse
Die Linsenmacherformel lautet:
\(
\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{nR_1R_2} \right)
\)
wobei:
- \(f\) die Brennweite der Linse ist,
- \(n\) der Brechungsindex des Linsenmaterials (angenommen als 1,5),
- \(R_1\) und \(R_2\) die Krümmungsradien der Linsenoberflächen,
- \(d\) die Dicke der Linse.
Anmerkung: Für eine konvexe Oberfläche gilt der Radius als positiv, für eine konkave Oberfläche als negativ.
Da nichts zur Orientierung der Krümmungsradien gesagt wurde, nehmen wir an, dass die Linse konvex-konkav ist, mit \(R_1 = +15\,mm\) (konvex, da das Licht zuerst auf diese Fläche trifft) und \(R_2 = -30\,mm\) (konkav, da der Strahl die Linse verlässt).
Einsetzen der Werte ergibt:
\(
\frac{1}{f} = (1,5 - 1) \left( \frac{1}{15\,mm} - \frac{1}{-30\,mm} + \frac{(1,5-1) \cdot 3\,mm}{1,5 \cdot 15\,mm \cdot (-30\,mm)} \right)
\)
\(
\frac{1}{f} = 0,5 \left( \frac{1}{15} + \frac{1}{30} - \frac{0,5 \cdot 3}{1,5 \cdot 15 \cdot (-30)} \right) = 0,5 \left( \frac{2 + 1}{30} \right)
\)
\(
\frac{1}{f} = 0,5 \cdot \frac{3}{30} = 0,5 \cdot 0,1 = 0,05
\)
Somit ist \(f = \frac{1}{0,05} = 20\,mm\).
Schritt 2: Bestimmung der Bildweite \(v\) mithilfe der Linsengleichung
Die Linsengleichung lautet:
\(
\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}
\)
wobei:
- \(u\) die Gegenstandsweite (die Entfernung zwischen Objekt und Linse, hier \(200\,mm\) vor der Vorderfläche der Linse, daher ist \(u = 200\,mm\)),
- \(v\) die Bildweite (die Entfernung zwischen dem Bild und der Linse).
Einsetzen der Werte ergibt:
\(
\frac{1}{20\,mm} = \frac{1}{200\,mm} + \frac{1}{v}
\)
\(
\frac{1}{v} = \frac{1}{20\,mm} - \frac{1}{200\,mm} = \frac{10 - 1}{200} = \frac{9}{200}
\)
\(
v = \frac{200}{9} \approx 22,22\,mm
\)
Somit steht das Bild ca.
22,22 mm hinter der Linse.
