absolute und relative Messabweichung berechnen? (Klausurvorbereitung)

Question

Hey,

Kann jemand diese Aufgabe lösen?

Aufgabe:

Durch die getrennte Weg- und Zeitmessung soll die Geschwindigkeit eines
gleichförmig bewegten Objekts mittels v= s/t  ermittelt werden.
Der gemessene Weg beträgt s = 20 mm und die gemessene Zeit t = 1 ms, wobei die
Messung mit einer systematischen Abweichung von Δs = +0,2 mm bzw. Δt = -1 µs
behaftet ist.
a) Wie groß ist die absolute Messabweichung Δv allgemein und zahlenmäßig?
b) Wie groß ist die relative Messabweichung Δv/v allgemein und zahlenmäßig?
c) Wie groß sind die maximal mögliche und die mittlere Gesamtabweichung bei Δs = ± 0,2 mm und Δt = ± 1 µs ?


Ich freue mich auf eure Antworten und danke euch voraus.

MfG,

mistermathe

Comments

Vom Duplikat:

Titel: absolute und relative Messabweichung berechnen?

Stichworte: relative,absolute,differenzenquotient,extrema,funktion

Hey,

Kann jemand diese Aufgabe lösen?

Aufgabe:

Durch die getrennte Weg- und Zeitmessung soll die Geschwindigkeit eines
gleichförmig bewegten Objekts mittels v= s/t  ermittelt werden.
Der gemessene Weg beträgt s = 20 mm und die gemessene Zeit t = 1 ms, wobei die
Messung mit einer systematischen Abweichung von Δs = +0,2 mm bzw. Δt = -1 µs
behaftet ist.
a) Wie groß ist die absolute Messabweichung Δv allgemein und zahlenmäßig?
b) Wie groß ist die relative Messabweichung Δv/v allgemein und zahlenmäßig?
c) Wie groß sind die maximal mögliche und die mittlere Gesamtabweichung bei Δs =

± 0,2 mm und Δt = ± 1 µs ?

Ich freue mich auf eure Antworten und danke euch voraus.

MfG,

mistermathe

Answer 1

Für die Bestimmung der Ungenauigkeit zusammengesetzter Größen gibt es unterschiedliche Möglichkeiten, die sich in ihrer Schwierigkeit und Präzision unterscheiden. Ohne genauer zu wissen, in welchem Maß ihr euch mit dem Thema auseinandergesetzt habt, wird hier niemand die gewünschte Antwort liefern können.

Eine häufig verwendete Formel zur Abschätzung von Unsicherheiten ist die Gaußsche Fehlerfortpflanzung:

Ist eine Größe f(a,b) aus zwei fehlerbehafteten Größen a und b zusammengesetzt, so lautet die Unsicherheit der Größe f

$$  \Delta f = \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial a} \Delta a\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial b} \Delta b\right)^2}.$$

Etwas gröber ist die Abschätzung

$$ \Delta f = \left|\frac{\partial f}{\partial a}\right| \Delta a + \left|\frac{\partial f}{\partial b}\right| \Delta b$$

Für den speziellen Fall v(s,t) = s/t gilt daher in der zweiten Form

$$\Delta v \approx \frac{1}{t} \Delta s + \frac{s}{t^2} \Delta t$$

bzw. für den relativen Fehler

$$\frac{\Delta v}{v} \approx \frac{\Delta s}{s} + \frac{\Delta t}{t}.$$

Für die Größtfehlerabschätzung in Aufgabenteil (c) versucht man für v(s,t) das maximal und minimalmögliche Ergebnis zu erhalten:

$$ v_\text{Max} = \frac{s+\Delta s}{t - \Delta t}$$

$$v_\text{Min} = \frac{s-\Delta s}{t+\Delta t}$$

und prüft inwieweit diese vom Zentralwert v = s/t abweichen. Was die mittlere Gesamtabweichung in diesem Zusammenhang ist, weiß ich nicht. Vielleicht kann dabei noch jemand anderes helfen.