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a) Wie groß ist die Kapazität des Sensors?
Um die Kapazität \(C\) eines Plattenkondensators zu berechnen, verwenden wir die Formel:
\(
C = \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot A}{d}
\)
wo \(\epsilon_0\) die elektrische Feldkonstante oder Permittivität des Vakuums ist, \(\epsilon_r\) die relative Permittivität oder Dielektrizitätskonstante des Isoliermaterials, \(A\) die Fläche einer Platte und \(d\) der Plattenabstand.
Gegeben sind:
- \(\epsilon_0 = 8,854 \cdot 10^{-12} \, \text{A s /(V m)}\)
- \(\epsilon_r = 3\)
- \(A = 1 \, \text{cm}^2 = 1 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2\) (umgerechnet von Quadratzentimetern in Quadratmeter)
- \(d = 0,5 \, \text{mm} = 0,5 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\) (umgerechnet von Millimetern in Meter)
Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir:
\(
C = \frac{(8,854 \cdot 10^{-12}) \cdot 3 \cdot (1 \cdot 10^{-4})}{0,5 \cdot 10^{-3}}
\)
\(
C = \frac{26,562 \cdot 10^{-16}}{0,5 \cdot 10^{-3}}
\)
\(
C = 53,124 \cdot 10^{-13} \, \text{F} = 53,124 \, \text{pF}
\)
Die Kapazität des Sensors beträgt also \(53,124 \, \text{pF}\).
b) Wie hängt die Empfindlichkeit des Sensors vom Plattenabstand ab?
Die Empfindlichkeit des kapazitiven Sensors in Bezug auf den Abstand kann man durch die Ableitung der Kapazität nach dem Plattenabstand \(d\) ermitteln. Aus der Kapazitätsformel \(C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d}\) erkennen wir, dass die Kapazität umgekehrt proportional zum Plattenabstand ist. Eine Verringerung des Plattenabstands führt zu einer Erhöhung der Kapazität und umgekehrt. Das erklärt, warum die Empfindlichkeit mit kleiner werdendem Abstand steigt, da kleinere Änderungen im Abstand größere relative Änderungen in der Kapazität bewirken.
c) Welche Konsequenz ergibt sich für die Anwendung kapazitiver Sensoren in der Praxis?
In der Praxis bedeutet dieser Zusammenhang, dass kapazitive Sensoren sehr empfindlich auf Änderungen des Abstands der Platten oder das Einführen von Material mit unterschiedlicher relativer Permittivität zwischen den Platten reagieren können. Dies macht sie ideal für genaue Positionserfassung, Abstandsmessung oder zur Detektion von Materialien. Allerdings muss man auch auf ungewollte Einflüsse, wie Temperaturschwankungen oder Feuchtigkeit achten, da diese den Plattenabstand oder die Materialeigenschaften und damit die Kapazität beeinflussen können.
d) Wie wirkt sich eine relative Abstandsänderung relativ auf die Kapazität aus?
Eine relative Abstandsänderung \(\Delta d\) führt zu einer proportionalen relativen Änderung der Kapazität \(\Delta C\), da die Kapazität, wie bereits erwähnt, umgekehrt proportional zum Plattenabstand ist. Wenn der Abstand zwischen den Platten abnimmt, erhöht sich die Kapazität. Eine Verdopplung des Abstands führt beispielsweise zu einer Halbierung der Kapazität. Diese direkte umgekehrte Proportionalität bedeutet, dass eine prozentuale Änderung des Abstands eine entsprechende prozentuale Änderung in die entgegengesetzte Richtung der Kapazität hervorruft.
