Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um die beiden Teilfragen dieser Aufgabe zu lösen, verwenden wir Newtons zweites Gesetz der Bewegung, das besagt: \(F = m \cdot a\), wobei \(F\) die resultierende Kraft auf den Körper ist, \(m\) die Masse des Körpers und \(a\) die Beschleunigung des Körpers.
Teil a) Berechnung der Beschleunigung des Systems
Das System besteht aus zwei Massen \(m_1 = 8 \, \text{kg}\) und \(m_2 = 12 \, \text{kg}\), welche durch ein Seil miteinander verbunden sind. Da \(m_2\) schwerer ist als \(m_1\), wird \(m_2\) nach unten beschleunigt, während \(m_1\) nach oben beschleunigt wird.
Die resultierende Kraft (\(F_{\text{res}}\)) auf das System wird durch die Differenz der Gewichtskräfte der beiden Massen bestimmt:
\(F_{\text{res}} = m_2g - m_1g\)
wobei \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist. Einsetzen der gegebenen Massen ergibt:
\(F_{\text{res}} = 12 \cdot 9.81 - 8 \cdot 9.81 = 39.24 \, \text{N} - 78.48 \, \text{N}\)
\(F_{\text{res}} = 39.24 \, \text{N}\)
Die Gesamtmasse des Systems, die beschleunigt wird, ist:
\(M_{\text{ges}} = m_1 + m_2 = 8 + 12 = 20 \, \text{kg}\)
Die Beschleunigung des Systems finden wir durch Umstellen der Gleichung \(F = m \cdot a\) nach \(a\):
\(a = \frac{F_{\text{res}}}{M_{\text{ges}}}\)
Einsetzen der Werte ergibt:
\(a = \frac{39.24}{20} = 1.962 \, \text{m/s}^2\)
Die Beschleunigung des Systems beträgt also \(1.962 \, \text{m/s}^2\).
Teil b) Berechnung der Seilspannung
Für die Seilspannung nutzen wir die Beschleunigung des Systems, die wir bereits berechnet haben, und betrachten eine der Massen, z.B. \(m_1\). Die Seilspannung \(T\) wirkt entgegen der Gewichtskraft von \(m_1\), wenn \(m_1\) nach oben beschleunigt wird.
Die resultierende Kraft, die \(m_1\) beschleunigt, kann mit \(F = m_1 \cdot a\) berechnet werden. Diese resultierende Kraft ist gleich der Seilspannung \(T\) minus der Gewichtskraft von \(m_1\) (\(m_1g\)):
\(T - m_1g = m_1a\)
\(T = m_1a + m_1g\)
Setzen wir die Werte ein:
\(T = 8 \cdot 1.962 + 8 \cdot 9.81 = 15.696 + 78.48 = 94.176 \, \text{N}\)
Die Seilspannung beträgt also \(94.176 \, \text{N}\).
