Antwort mit KI erzeugt
Lösung der Aufgabe
Um die gestellte Aufgabe zu lösen, wenden wir die ideale Gasgleichung an. Diese lautet:
\( p \cdot V = n \cdot R \cdot T \)
wobei \(p\) der Druck, \(V\) das Volumen, \(n\) die Anzahl der Mole, \(R\) die universelle Gaskonstante und \(T\) die Temperatur ist. Da die Temperatur (\(T\)) und die Gaskonstante (\(R\)) konstant bleiben, können wir die Gleichung in Bezug auf Volumen und Druck vereinfachen zu:
\( p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \)
Hier beachten wir, dass die Menge des Gases (\(n\)) sich ändert, wenn Luft hinzugefügt wird, um den Druckausgleich zu schaffen, aber das Produkt aus Druck und Volumen unter identischen thermodynamischen Bedingungen konstant bleibt.
Gegeben:
- Anfänglicher Druck \(p_1 = 11.25 \, \text{Bar}\)
- Enddruck \(p_2 = 6.34 \, \text{Bar}\)
- Anfängliches Volumen des Druckbehälters \(V_1 = 6.8 \, \text{m}^3\) (dies ist das Volumen vor dem Ansaugen von Umgebungsluft, um den Druck zu erhöhen)
- Wir sollen das zusätzlich benötigte Volumen \(V_{\text{zusatz}}\) finden, um den Druck zurück auf den Anfangsdruck zu erhöhen, wenn das Volumen des Behälters durch das Ansaugen von Luft erhöht wird.
Um zu berechnen, wie viel m³ Umgebungsluft angesaugt werden müssen, betrachten wir, dass der Enddruck \(p_2\) erreicht wird, wenn das Volumen \(V_1 + V_{\text{zusatz}}\) ist, wobei \(V_1\) das anfängliche Volumen und \(V_{\text{zusatz}}\) das hinzugefügte Volumen Umgebungsluft ist.
Der Endzustand, nach dem Ausgleichen des Drucks, sollte der gleiche sein wie der Anfangszustand in Bezug auf das Produkt aus Druck und Volumen, also:
\( p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot (V_1 + V_{\text{zusatz}}) \)
Wir lösen diese Gleichung nach \(V_{\text{zusatz}}\) auf:
\( V_{\text{zusatz}} = \frac{p_1 \cdot V_1}{p_2} - V_1 \)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\( V_{\text{zusatz}} = \frac{11.25 \, \text{Bar} \cdot 6.8 \, \text{m}^3}{6.34 \, \text{Bar}} - 6.8 \, \text{m}^3 \)
\( V_{\text{zusatz}} = \frac{76.5 \, \text{m}^3}{6.34} - 6.8 \, \text{m}^3 \)
\( V_{\text{zusatz}} \approx 12.07 \, \text{m}^3 - 6.8 \, \text{m}^3 \)
\( V_{\text{zusatz}} \approx 5.27 \, \text{m}^3 \)
Antwort: Um den Druckabfall auszugleichen, müssen etwa \(5.27 \, \text{m}^3\) Umgebungsluft angesaugt werden.
