Hallo equinox,
Ja - Hebelarm und Kraft kreuzmultiplizeren ist bei Momenten immer angesagt, wenn die Lösung nicht sowieso trivial ist. Dies ist sie hier auch nicht! Man kann auch so sagen: Wann immer die Winkel nicht mehr rechtwinklig sind und/oder Du Dir unsicher bist, ist das Kreuzprodukt aus Hebelarm mal Kraft (in dieser Reihenfolge!) das richtige Werkzeug.
Der Hebelarm ist immer der Vektor, der von dem Punkt, um den das Moment berechnet werden soll, zu der Wirkungslinie der Kraft führt. Wobei es egal ist, welchen Punkt auf der Wirkungslinie man wählt. Wenn wie hier die Ansatzpunkte \(r_A\) und \(r_C\) der Kräfte gegeben sind, so wählt man natürlich diese Punkte - dies ist i.A. am einfachsten.
Ist ein Moment bereits gegeben, so wie hier \(M_B\), so kann es unabhängig von seinem Ansatzpunkt einfach hinzu gezählt werden. Momente sind so gesehen nicht ortsfest - sie wirken quasi überall gleich. Man kann sie also beliebig verschieben!
Hier gilt:
$$M_{D1} = (r_C - r_D) \times F_1 = \left( \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 5\end{pmatrix} \right) \times \begin{pmatrix}-2 \\ 0\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 2\end{pmatrix}$$
$$M_{D2} = (r_A - r_D) \times F_2 = \left( \begin{pmatrix} 4\\ 5\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ 5\end{pmatrix}\right) \times \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ -5\\ -9\end{pmatrix}$$
Die Summe aller Momente um \(D\) ist demnach
$$M_D = M_{D1} + M_{D2} + M_B = \begin{pmatrix} 2\\ 6\\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 12\\ -5\\ -9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}17 \\1 \\ -5\end{pmatrix} $$
Gruß und frohe Weihnachten
Werner
