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Der Steiner'sche Satz
Der Steiner'sche Satz ist eine wichtige Regel in der Physik der starren Körper, speziell in der Rotationsdynamik. Er beschreibt, wie sich das Trägheitsmoment eines Körpers ändert, wenn die Rotationsachse verschoben wird, ohne dabei den Körper selbst zu verändern. Die Formel lautet:
\(
I_{\text{ges}} = I_{\text{SP}} + a^2M
\)
wo \(I_{\text{ges}}\) das Trägheitsmoment bezüglich der neuen Achse ist, \(I_{\text{SP}}\) das Trägheitsmoment bezüglich einer parallelen Achse durch den Schwerpunkt, \(a\) der Abstand zwischen den beiden Achsen und \(M\) die Masse des Körpers.
Herleitung mit beliebiger Dichteverteilung
Um den Steiner'schen Satz für einen Körper mit beliebiger Dichteverteilung herzuleiten, betrachten wir zuerst die Definition des Trägheitsmoments. Das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer Achse ist definiert als:
\(
I = \int r^2 \, dm
\)
wobei \(r\) der senkrechte Abstand eines Masseelements \(dm\) von der Rotationsachse ist. Die Masse \(dm\) eines kleinen Volumenelements \(dV\) hängt von der Dichte \(\rho(\textbf{r})\) ab, so dass \(dm = \rho(\textbf{r}) \, dV\), wobei \(\textbf{r}\) die Position innerhalb des Körpers ist.
Um \(I_{\text{SP}}\) zu bestimmen, integrieren wir über alle Massenelemente in Bezug auf eine Achse durch den Schwerpunkt des Körpers. Für \(I_{\text{ges}}\) müssen wir die gleiche Integration durchführen, aber in Bezug auf eine parallele Achse im Abstand \(a\) vom Schwerpunkt.
Wenn wir den Abstand von der parallelen Achse in zwei Komponenten zerlegen - den Abstand \(a\) des Schwerpunkts von der Rotationsachse und den Abstand \(r'\) eines Masseelements vom Schwerpunkt - dann gilt für jedes Masseelement \(r = a + r'\), wobei \(r'\) je nach Position des Masseelements positiv oder negativ sein kann. Daraus folgt für das Trägheitsmoment bezüglich der parallelen Achse:
\(
I_{\text{ges}} = \int (a + r')^2 \, dm = \int (a^2 + 2ar' + r'^2) \, dm
\)
Da \(a\) konstant ist, kann es vor das Integral gezogen werden. Das Integral über \(2ar'dm\) verschwindet, da es symmetrisch um den Schwerpunkt integriert wird (d.h., für jedes \(r'\) gibt es ein \(-r'\) mit der gleichen Masse). Also bleibt:
\(
I_{\text{ges}} = a^2 \int dm + \int r'^2 \, dm = a^2M + I_{\text{SP}}
\)
Dies ist der Steiner'sche Satz. Dabei ist:
- \(a^2M\) der Anteil des Trägheitsmoments aufgrund der Verschiebung der Achse um den Abstand \(a\).
- \(I_{\text{SP}} = \int r'^2 \, dm\) das Trägheitsmoment bezüglich der Achse durch den Schwerpunkt, das die Verteilung der Masse um den Schwerpunkt widerspiegelt, unabhängig von der Dichteverteilung.
Zusammenfassend ermöglicht der Steiner'sche Satz, das Trägheitsmoment eines Körpers für jede beliebige Rotationsachse zu berechnen, sofern das Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch den Schwerpunkt und der Abstand zwischen den beiden Achsen bekannt sind. Dies gilt für jede Art von Dichteverteilung im Körper, da die Integrationsprozesse die gesamte Masse und die Abstandsverhältnisse berücksichtigen.
