Hallo Hijikie ! :-)
Bis man nach \(t = 15s \) den Aufprall hört, hat der Stein die (Fall) Zeit \(t_F \) bis zum Aufprall gebraucht und der Schall hat die (Schall) Zeit \(t_S \) benötigt.
Das ist insgesamt die Zeit \(t = t_F + t_S\). Der Schall braucht demnach
\(t_S = t - t_F \) Sekunden.
Der Stein und der Schall legen den gleichen Weg \(h \) zurück.
Es gilt für den Stein \( h = \frac{1}{2}gt_F^2\) und für den Schall
\( h = v_s t_s \). Weil der Weg gleich ist, können wir die Formeln gleichsetzen
\( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s t_s \) und erhalten nach dem Einsetzen von \(t_S \) \( \frac{1}{2}gt_F^2 = v_s (t - t_F) \). Das führt zu einer quadratischen Gleichung, die wir lösen können:
$$\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S(t - t_F) \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 = v_S\cdot t - v_S\cdot t_F \\\frac{1}{2}g\cdot t_F^2 + v_S\cdot t_F - v_S\cdot t = 0 \quad \quad \bigg \vert \cdot \frac{2}{g} \\t_F^2 + \frac{2v_S}{g}\cdot t_F - \frac{2v_S\cdot t}{g} = 0 \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2}{g^2}+\frac{2v_S\cdot t}{g}} \\t_{F_{1,2}} = -\frac{v_S}{g} \pm \sqrt{\frac{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}{g^2}} \\t_{F_{1,2}} = \frac{-v_S \ \pm \sqrt{v_S^2+2v_S\cdot t\cdot g}}{g} \\$$
Wir setzen die Zahlenwerte der Schallgeschwindigkeit(340m/s), der Fallbeschleunigung(9,81m/s^2) und der Zeit(t = 15s) ein.
$$t_{F_{1,2}} = \frac{-340 \ \pm \sqrt{340^2+2\cdot 340\cdot 15\cdot 9.81}}{9.81} $$
Und erhalten die Lösungen
$$t_{F_{1}} \approx 12,7s \\ t_{F_{2}} \approx -82s \\$$
Daraus bekommen wir die Höhe. Nach \(12,7s \) hat der Stein \( h = \frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot \left( 12,7\right)^2 \approx 790 m \) zurückgelegt.
Beste Grüße
gorgar
