Hallo
Wir berechnen zunächst die Massenträgheitsmomente der Vollzylinder in Bezug auf
ihre Schwerpunktachsen.
Vollzylinder oben:
Js_1 = 1/2 * 0.75kg * (0.15m)^2 = 0.003375 kg m^2
Vollzylinder mitte:
Js_2 = 1/2 * 5kg * (0.25m)^2 = 0.15625 kg m^2
Vollzylinder unten:
Js_3 = Js_1 = 0.003375 kg m^2
Die Massenträgheitsmomente bezüglich der Achse A sind
Vollzylinder oben:
J1 = Js_1 + 0.75kg * (0.15m)^2 = 0.003375 kg m^2 + 0.016875 kg m^2
J1 = 0.02025 kg m^2
Vollzylinder mitte:
J2 = Js_2 + 5kg * (0.25m)^2 = 0.15625 kg m^2 + 0.3125 kg m^2
J2 = 0.46875 kg m^2
Vollzylinder unten:
J3 = Js_3 + 0.75kg * (r * 2R)^2 = 0.003375 kg m^2 + 0.75kg * (0.65m)^2
J3 = 0.003375 kg m^2 + 0.316875 kg m^2
J3 = 0.32025 kg m^2
Das Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse A ist insgesamt
J = J1 + J2 + J3
J = 0.02025 kg m^2 + 0.46875 kg m^2 + 0.32025 kg m^2
J = 0.80925 kg m^2
Der Massenmittelpunkt der drei Zylinder liegt aufgrund der Symmetrie in der
Mitte des großen Zylinders, der Abstand d vom Massenmittelpunkt zu Aufhängepunkt A
ist d = R = 0.25m.
Die Gesamtmasse der drei Zylinder ist m = 6.5 kg
Jetzt haben wir alle Werte zusammen, um die Schwingungsdauer berechnen zu können.
T = 2π √(J/(mgd))
T = 2π √(0.80925/(6.5 * 9.81 * 0.25))
T = 1.41567 s
Einheitencheck: √((kg m^2)/(kg m/s^2 m)) = √(s^2) = s -> ok
