Antwort mit KI erzeugt
a) Kraft, die den Körper um 10 cm auslenkt
Die Kraft \(F\), die notwendig ist, um den Körper um die Strecke \(s = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m}\) aus seiner Gleichgewichtslage auszulenken, wird durch das Hooke'sche Gesetz bestimmt:
\(
F = k \cdot s
\)
wobei \(k = 6 \, \text{N/m}\) die Federkonstante ist. Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\(
F = 6 \, \text{N/m} \cdot 0,1 \, \text{m} = 0,6 \, \text{N}
\)
b) Periodendauer der Schwingung
Die Periodendauer \(T\) einer ungedämpften Schwingung wird gegeben durch die Formel:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\)
wobei \(m = 50 \, \text{g} = 0,05 \, \text{kg}\) die Masse ist. Einsetzen der Werte ergibt:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{0,05 \, \text{kg}}{6 \, \text{N/m}}} = 2\pi \sqrt{0,0083333... \, \text{s}^2} \approx 2\pi \sqrt{0,0083 \, \text{s}^2} \approx 0,57 \, \text{s}
\)
c) Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage
Die maximale Geschwindigkeit \(v\) des Körpers beim Durchlaufen der Gleichgewichtslage erhält man durch die Erhaltung der mechanischen Energie, wobei die gesamte potentielle Energie der Feder in kinetische Energie des Körpers umgewandelt wird:
\(
\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv^2
\)
Löst man nach \(v\) auf und setzt die Werte ein:
\(
v = \sqrt{\frac{k}{m}} x = \sqrt{\frac{6 \, \text{N/m}}{0,05 \, \text{kg}}} \cdot 0,1 \, \text{m} \approx \sqrt{120} \cdot 0,1 \, \text{m/s} \approx 1,095 \, \text{m/s}
\)
d) Beschleunigung im Moment der größten Federauslenkung
Die Beschleunigung \(a\) finden wir, indem wir das zweite Newtonsche Gesetz (\(F = m \cdot a\)) zusammen mit dem Hooke'schen Gesetz (\(F = k \cdot x\)) anwenden:
\(
a = \frac{k}{m} x
\)
Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:
\(
a = \frac{6 \, \text{N/m}}{0,05 \, \text{kg}} \cdot 0,1 \, \text{m} = 12 \, \text{m/s}^2
\)
e) Lösung der Schwingungsgleichung beim Loslassen zur Zeit \(t_0 = 7 \, \text{s}\)
Die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung für eine harmonische Schwingung kann ausgedrückt werden als:
\(
x(t) = x_0 \sin(\omega t + \varphi)
\)
wobei \(\omega\) die Kreisfrequenz ist, gegeben durch \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), und \(\varphi\) die Phasenverschiebung. Da die Geschwindigkeit im Moment des Loslassens null ist und die Auslenkung maximal, muss \(\varphi = 0\) oder \(\varphi = \pi\) sein, je nachdem, in welche Richtung der Start erfolgt. Die Kreisfrequenz \(\omega\) ist:
\(
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{6 \, \text{N/m}}{0,05 \, \text{kg}}} \approx \sqrt{120} \, \text{s}^{-1}
\)
Da die maximale Auslenkung \(x_0 = 10 \, \text{cm} = 0,1 \, \text{m}\) sofort nach dem Loslassen bei \(t_0 = 7 \, \text{s}\) auftritt, kann angenommen werden, dass der Sinus-Term zu diesem Zeitpunkt \(1\) oder \(-1\) sein muss, was darauf hinweist, dass der Körper am höchsten bzw. tiefsten Punkt seiner Schwingung ist. Der genaue Wert von \(\varphi\) hängt von der Anfangsbedingung und der Bewegungsrichtung ab.
Die vollständige Lösung der Schwingungsgleichung unter Berücksichtigung der notwendigen Anpassungen für das spezielle Szenario könnte komplexer sein, da es ohne die genaue Angabe zur Phasenverschiebung und zur anfänglichen Bewegungsrichtung des Körpers interpretative Spielräume gibt. Basierend auf dem vorhandenen Ansatz jedoch,
\(
x(t) = 0,1 \, \text{m} \cdot \sin(\sqrt{120} \, \text{s}^{-1} \cdot (t - 7 \, \text{s}) + \varphi)
\)
mit \(\varphi\) angepasst, um die Anfangsbedingungen zu erfüllen. Leider kann ohne weitere Informationen über die Anfangsbewegungsrichtung der genaue Wert von \(\varphi\) nicht bestimmt werden.
