Antwort mit KI erzeugt
Abschusswinkel und Auftreffhöhe eines Schusses bestimmen
Um die Frage zu beantworten, nutzen wir die Grundlagen der Ballistik und der Projektbewegung unter Vernachlässigung von Luft- und Reibungskräften.
Teil a: Berechnung des Abschusswinkels
Die horizontale Distanz (Reichweite) \( R \), die ein Projektil zurücklegt, kann mit der Formel
\(
R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}
\)
berechnet werden, wobei \( v \) die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils ist, \( \theta \) der Abschusswinkel und \( g \) die Erdbeschleunigung (\( 9.81 m/s^2 \)). Gegeben sind \( R = 100m \) und \( v = 250m/s \). Wir setzen die gegebenen Werte in die Formel ein und lösen sie nach \( \theta \) auf:
\(
100 = \frac{250^2 \sin(2\theta)}{9.81}
\)
Wir isolieren \( \sin(2\theta) \):
\(
\sin(2\theta) = \frac{100 \cdot 9.81}{250^2}
\)
\(
\sin(2\theta) = \frac{981}{62500}
\)
\(
\sin(2\theta) = 0.015696
\)
Um \(2\theta\) zu finden, wenden wir den Sinus-Inversen (Arcsin) an:
\(
2\theta = \arcsin(0.015696)
\)
\(
2\theta \approx 0.898^\circ
\)
Teilen durch 2 gibt uns den Abschusswinkel \( \theta \):
\(
\theta \approx 0.449^\circ
\)
Die Berechnung zeigt, dass der anfängliche Ansatz für den Abschusswinkel bei 0.45° nicht korrekt ist, sondern der tatsächliche Wert nach korrekter Berechnung bei ungefähr 0.449° liegt, was nahe an dem vorgeschlagenen Wert liegt, jedoch weist der ursprüngliche Prozess mathematische Fehler auf.
Teil b: Berechnung der Auftreffhöhe
Die Auftreffhöhe kann basierend auf dem aufgelösten Abschusswinkel und der horizontalen Distanz unter Annahme der absoluten Genauigkeit mit \( \theta \approx 0.449^\circ \) nicht direkt mit \( \tan(\theta) \times 100m \) berechnet werden, da dies implizieren würde, dass die Trajektorie des Projektils eine gerade Linie ist, was nicht der Fall ist. Stattdessen muss die Parabelförmige Bahn des Geschosses betrachtet werden.
Die vertikale Position \( y \) eines Projektils zu einem gegebenen Zeitpunkt \( t \) kann mit der folgenden Gleichung gefunden werden:
\(
y = v \sin(\theta) t - \frac{1}{2}gt^2
\)
Da die Zeit \( t \) nicht direkt gegeben ist, muss sie aus der horizontalen Bewegung berechnet werden, da \( x = v \cos(\theta) t \). Um die Höhe zu finden, an der das Geschoss das Ziel trifft, ist es jedoch praktikabler, die Gesamtflugzeit zu berechnen, indem \( R \) durch \( v \cos(\theta) \) geteilt wird, und dann diese Gleichung zu verwenden, um \( y \) zu berechnen. Aber für ein Ziel in 100m Entfernung und einem so kleinen Abschusswinkel würde das Geschoss, praxisfremd, fast horizontal fliegen, und die Auftreffhöhe würde sich nicht signifikant von 0 unterscheiden, außer durch die winzige anfängliche Anhebung durch den Abschusswinkel.
Die ursprüngliche Methode und das Ergebnis, das behauptet eine Höhe von ~0.785m basierend auf dem Tangens des Winkels und der Distanz, missversteht die Anwendung dieser trigonometrischen Funktion und ignoriert die Realitäten der Projektilbewegung, die eine parabolische Flugbahn aufweist.
Für genaue Berechnungen unter den gegebenen Annahmen und ohne explizite Zeitberechnung, ist die Auftreffhöhe ohne detaillierte Flugzeitberechnung und Betrachtung der vertikalen Bewegungsgleichungen schwierig präzise zu bestimmen und kann unter den vereinfachten Annahmen als nahe der Abschusshöhe betrachtet werden – in diesem Fall annähernd auf dem Bodenniveau, wenn von einer abschussnahen Grundhöhe von 0 ausgegangen wird.
