Wie wird der Gesamtwiderstand berechnet?

Question

Aufgabe:

Gesamtwiderstand einer Widerstandsleiter berechnen

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen,

hier eine Aufgabe zur Widerstandsberechnung, deren Lösung mir zwar bekannt ist, die aber interessant ist für alle, die sich im Berechnen von Widerstandsnetzwerken üben wollen.

Gegeben ist das Widerstandsnetzwerk in Form einer Leiter, die unendlich lang ist (Bild).
Gesucht ist der Gesamtwiderstand zwischen A und B, wenn

alle Holmwiderstände $\large R_{1} = 1Ω$   und

alle Sprossenwiderstände $\large R_{2} = 4Ω$   haben.

Hierzu ein Hinweis: die Berechnung scheint schwieriger zu sein als sie tatsächlich ist.

 

Gruß von hightech

Comments

schöne Aufgabe. Über eine Excel-Reihe bin ich auch auf 4 Ω gekommen, das aber auch erst nach einigen Schleifen. Ich hatte Vorgesetzte, die meine Excel-Affinität nicht immer gut fanden, Erfolg hatte ich dennoch damit.

Wie sieht denn jetzt die nichtschwierige Berechnung aus? Etwa so wie die Antwort von Enano?

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Hallo Karl60,

neu und interessant für mich ist, dass es auch nach deiner Methode mit Hilfe einer Excel-Tabelle geht. Prima!

Zu deiner Frage "Wie sieht denn die nichtschwierige Berechnung aus?"

Nun, da Enano die Lösung bereits angegeben hat, überlasse ich ihm den Vortritt den Lösungsansatz zu erklären. Dieser Lösungsansatz ergibt sich durch eine einfache Überlegung, die man in wenige Worte fassen kann, ohne Mathematik. Diese Überlegung (bzw. logische Gedanke) kann Enano bestimmt erklären. Falls nicht, dann werde ich mich wieder melden.

Gruß von hightech

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... überlasse ich ihm den Vortritt den Lösungsansatz zu erklären.

Vielen Dank. Siehe meine ergänzte Antwort.

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Die Erklärung von Enano ist richtig. Ich will es aber mal anhand des Bildes erklären:

Wenn man die Widerstandsleiter an einer beliebigen Stelle a, b, c, d oder anderer Stelle aufschneidet, dann ist der Eingangswiderstand der restlchen Widerstandsleiter -abwärts betrachtet- stets gleich dem Gesamtwiderstand R_G , da die Leiter unendlich lang ist.

Somit ist der Gesamtwiderstand R_G bezüglich den Klemmen A und B gleich dem "Restwiderstand" der Widerstandsleiter (an einer beliebigen Stelle), also R_G, parallel mit R₂ plus die beiden Holmwiderstände R₁ . Dieser verbal erklärte Zusammenhang jetzt in die angegebene Gleichung umsetzen und die Gleichung nach R_G auflösen.

Gruß von hightech

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Hier noch eine Ergänzung zu der Widerstandsleiter:

Solche Aufgaben sind keineswegs nur rechnerische Spielereien. Diese (und ähnliche Systeme) werden in der Übertragungstechnik genutzt wenn es darum geht impedanzrichtig Signale zu bedämpfen ( Stichwort Dämpfungsglieder).

Gruß von hightech

Answer 1

Hallo hightech,

R_G = 2 * R₁ +  (R₂ * R_G)  / (R₂ + R_G)

Als Lösung der gemischt quadratischen Gleichung ergibt sich:

R_G = R₁ ± √(2 * R₁ * R₂ + R₁²)

R₂ = 4 * R₁

R_G = R₁ ± √((2 * R₁ * 4 * R₁ + R₁²) = R₁ ± √((9 * R₁²) = R₁ ± 3 * R₁

Weil der Gesamtwiderstand nicht negativ sein kann, bleibt R_G = 4 * R₁ = 4 * 1Ω = 4Ω = R₂ übrig.

Gruß Enano

Nachtrag Lösungsansatz:

Würden die 3 in der Darstellung mit R₁ und R₂ bezeichneten Widerstände entfernt werden, wäre der Gesamtwiderstand R_G bei einer unendlich langen Leiter immer noch genauso groß, d.h. R₂ liegt parallel zu R_G →  ( R₂ * R_G) / (R₂ + R_G). Zu dieser Parallelschaltung liegen die beiden Widerstände R₁ in Reihe, so dass der Gesamtwiderstand R_G = 2 * R₁ +  (R₂ * R_G)  / (R₂ + R_G) beträgt.

Comments

Die zu R2 parallell geschaltete unendliche Kette wird bei genügend Gliedern auch ohne Exel-Tabelle letzlich zu 0 Ohm werden.Nun noch zu dem resultierenden Nullohm-Widerstand die beiden R1 in Reihe dazuzählen - und es werden 2 Ohm herauskommen.Wozu quadratische Gleichung ? Das ist eine Reihenentwicklung !

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ich zeige das 'mal als Tabelle

Anzahl der Sprossen	Gesamtwiderstand
1	6 Ω
2	4,4 Ω
3	4,095 Ω
4	4,024 Ω
5	4,0059 Ω
6	4,0015 Ω
7	4,00037 Ω
8	4,000092 Ω

Dodala Duhananda, rechne bitte nach.

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laut Erstposter:  R₁ = 1Ω\

bei R1=2Ohm kommt am unendlichen Ende 4 Ohm raus.

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die Tabelle bezieht sich auf R₁=1 Ω, die unendliche Kette hat einen Widerstand ≠ 0 Ω

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die Tabelle bezieht sich auf R1=1 Ω

Der Strom fließt von A durch R1 = 1 Ohm --- dann kommt die unendliche Kette mit so gut wie 0 Ohm --- durch den anderen Einohmwiderstand fließt der Strom nach B wieder heraus.

1 +1 = 2

bitte erkläre, wie da 4 Ohm rauskommen soll ...

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ok - kapiert - habe meinen Fehler gefunden !