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Um die Drehzahl (Umdrehungsfrequenz) des Rasensprengers zu berechnen, können wir den Drehimpulserhaltungssatz verwenden. Da keine äußeren Drehmomente auf den Sprenger wirken, bleibt der Drehimpuls des Systems erhalten. Wir nehmen dabei an, dass die Rotation des Sprengers zum Zeitpunkt \(t = 0\) beginnt und dass die Ausströmgeschwindigkeit und -rate des Wassers konstant sind.
Schritt 1: Berechnung des Drehimpulses des ausströmenden Wassers
Das Wasser strömt in zwei entgegengesetzte Richtungen aus den Enden des Rohrs, wodurch ein Drehmoment auf das Rohr und damit eine Drehbewegung erzeugt wird. Da das Wasser unter einem Winkel von 100° zum Rohr austritt, ist der effektive Hebelarm gleich der Länge des Rohrs \(\ell\) multipliziert mit dem Sinus des Winkels, unter dem das Wasser austritt. Jedoch müssen wir beachten, dass der Winkel von 100° nicht direkt zur Berechnung der senkrechten Komponente der Kraft verwendet werden kann. Stattdessen interessieren wir uns für den Winkel zur Horizontalen, welcher 90° beträgt, denn wir betrachten die Kraftkomponente, die senkrecht zum Hebelarm steht (d.h., der effektive Hebelarm ist direkt \(\ell\), da der Sinus von 90° gleich 1 ist).
Um den Drehimpuls \(L\) zu berechnen, der durch das ausströmende Wasser erzeugt wird, muss die Masse des Wassers, das pro Sekunde ausströmt, die Geschwindigkeit dieses Wassers und der Hebelarm berücksichtigt werden. Die Masse \(m_w\) des Wassers, das pro Sekunde ausströmt, wird berechnet durch:
\(m_w = V'_{w} \cdot \rho\)
Dabei ist \(\rho\) die Dichte des Wassers (\(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)) und \(V'_{w}\) die Ausstromrate pro Sekunde. Da die Aufgabe eine Ausstromrate von \(0,035 \, \text{ℓ/s}\) angibt, was \(0,035 \, \text{kg/s}\) (da \(1 \, \text{ℓ Wasser} = 1 \, \text{kg}\)) entspricht, und das Wasser an beiden Enden des Rohrs ausströmt, verdoppelt sich die effektive Masse, die wir für den Drehimpuls berücksichtigen müssen:
\(m_w = 2 \cdot 0,035 \, \text{kg/s} = 0,07 \, \text{kg/s}\)
Da die Geschwindigkeit des Wassers \(v_w = 12 \, \text{m/s}\) beträgt, können wir nun den Drehimpuls des ausströmenden Wassers pro Sekunde berechnen. Der Drehimpuls \(L_w\) des Wassers pro Sekunde wird durch das Produkt aus Masse, Geschwindigkeit und Hebelarm \(l\) gegeben:
\(L_w = m_w \cdot v_w \cdot \ell\)
Einsetzen der Werte ergibt:
\(L_w = 0,07 \, \text{kg/s} \cdot 12 \, \text{m/s} \cdot 0,16 \, \text{m} = 0,1344 \, \text{kg m}^2/\text{s}\)
Schritt 2: Berechnung der Drehzahl des Sprengers
Der Drehimpuls, den wir im ersten Schritt berechnet haben, verursacht eine Drehbewegung des Sprengers. Um die Drehzahl \(n\) zu berechnen, muss die Beziehung zwischen dem Drehimpuls und dem Trägheitsmoment \(I\) des Sprengers berücksichtigt werden. Das Trägheitsmoment eines dünnen, massiven Zylinders (oder eines massiven Stabes) bezogen auf eine Achse durch sein Zentrum ist gegeben durch:
\(I = \frac{1}{12} m_{r} \ell^2\)
wobei \(m_r = 0,05 \, \text{kg}\) die Masse des Rohres inklusive Wasserfüllung und \(\ell = 0,16 \, \text{m}\) die Länge des Rohres ist. Einsetzen der Werte ergibt:
\(I = \frac{1}{12} \cdot 0,05 \, \text{kg} \cdot (0,16 \, \text{m})^2 = 0,00010667 \, \text{kg m}^2\)
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Sprengers kann durch Division des Drehimpulses durch das Trägheitsmoment berechnet werden:
\(\omega = \frac{L_w}{I} = \frac{0,1344 \, \text{kg m}^2/\text{s}}{0,00010667 \, \text{kg m}^2} = 1260,57 \, \text{s}^{-1}\)
Die Drehzahl \(n\), also die Anzahl der Umdrehungen pro Sekunde, ist gegeben durch:
\(n = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1260,57 \, \text{s}^{-1}}{2\pi} \approx 200,36 \, \text{Umdrehungen/s}\)
Da in der Aufgabe nach der Drehzahl \(2,0 \, \text{s}\) nach dem Anstellen des Wassers gefragt wurde, ist der Zeitfaktor in dieser überlegung irrelevant, weil wir die momentane Drehzahl berechnet haben und angenommen haben, dass das Wasser kontinuierlich ausströmt. Beachten Sie, dass bei dieser Berechnung vereinfachende Annahmen gemacht wurden und die Reibung sowie weitere komplexe Faktoren ignoriert wurden.
