Antwort mit KI erzeugt
a) Skizzieren Sie den Prozess in einem T,s- und einem p,v- Diagramm.
Ohne Bilder kann ich keine Skizzen anfertigen, aber ich kann beschreiben, wie die Diagramme für einen Carnot-Prozess aussehen.
- Im T,s-Diagramm (Temperatur-Entropie-Diagramm): Der Carnot-Prozess wird als ein Rechteck dargestellt. Die obere horizontale Linie repräsentiert die Wärmezufuhr bei konstanter Temperatur \(T_O\), die untere horizontale Linie die Wärmeabfuhr bei konstanter Temperatur \(T_U\). Die vertikalen Linien stellen adiabatische (isentrope) Verdichtung und Expansion dar, bei denen keine Wärme übertragen wird.
- Im p,v-Diagramm (Druck-Volumen-Diagramm): Der Carnot-Prozess erscheint ebenfalls als Rechteck, allerdings mit verschiedenen charakteristischen Eigenschaften. Der linke vertikale Abschnitt ist die isentrope Kompression, der untere horizontale Abschnitt die isotherme Expansion, der rechte vertikale Abschnitt ist die isentrope Expansion und der obere horizontale Abschnitt ist die isotherme Kompression.
b) Bestimmen Sie das Verhältnis zwischen p3/p2 sowie p1/p4 auf der Basis von pmax/pmin.
Da in einem idealen Carnot-Prozess die Verdichtung und Expansion isentrop sind und die Wärmeübertragungen isotherm erfolgen, können wir vereinfachen, dass \(p_{max} = p_3 = p_2\) und \(p_{min} = p_1 = p_4\). Bei einem idealen Carnot-Zyklus sind diese Bedingungen jedoch nicht direkt auf die Realität übertragbar, ohne zusätzliche Annahmen zu machen. Beim idealen Gas unter isentropen Bedingungen gilt das Poisson-Gesetz, welches die Druckverhältnisse aufgrund der Volumen oder Temperaturveränderungen beschreibt, ist aber nicht direkt in der Frage gefragt. Ohne weitere spezifische Daten kann man nicht direkt ableiten, dass \(p_3 / p_2\) und \(p_1 / p_4\) direkt den gegebenen Verhältnissen entsprechen, weil \(p_{max}/p_{min} = 40\) angegeben ist.
Dennoch, für diese Frage und den idealen Carnot-Prozess, nehmen wir vereinfachend an, dass \(p_3 = p_{max}\), \(p_2 = p_{max}\), \(p_1 = p_{min}\), und \(p_4 = p_{min}\), was bedeutet, dass \(p_3/p_2 = 1\) und \(p_1/p_4 = 1\).
c) Bestimmen Sie die spezifischen Arbeiten für alle vier Prozessschritte.
- Isentrope Verdichtung (1 nach 2) und Expansion (3 nach 4): Die spezifische Arbeit für einen isentropen Prozess in einem idealen Gas ist \(W = c_v(T_{end} - T_{start})\). Da \(\Delta T_{1-2} = \Delta T_{3-4}\) und \(c_v = c_p - R_L\), ist die Arbeit identisch aber entgegengesetzt für Kompression und Expansion, wenn man nur die Temperaturen betrachtet. Allerdings gibt die Aufgabe keine direkten Temperaturen für diese Zustandsänderungen, weshalb die spezifische Arbeit hier nicht direkt berechnet werden kann ohne Annahmen oder zusätzliche Daten.
- Isotherme Zustandsänderungen (2 nach 3 und 4 nach 1): Die spezifische Arbeit aufgrund der isothermen Expansion bzw. Kompression kann mit \(W = R_L T \ln \left( \frac{V_{end}}{V_{start}} \right)\) berechnet werden. Da die spezifischen Volumina oder Mengen der Luft nicht angegeben sind, kann diese Arbeit nicht berechnet werden ohne weitere Angaben.
d) Bestimmen Sie die spezifischen Wärmemengen für alle vier Prozessschritte.
- Isotherme Expansion (2 nach 3): \(Q_{2-3} = m \cdot c_p \cdot (T_3 - T_2)\), aber weil es isotherm ist, ändert sich die Temperatur nicht, also \(Q_{2-3} = 0\) unter der Annahme von isentropen Zustandsänderungen.
- Isotherme Kompression (4 nach 1): Analog besteht keine Wärmeübertragung, \(Q_{4-1} = 0\), unter gleichen Annahmen.
- Isentrope Zustandsänderungen übertragen keine Wärme, daher sind \(Q_{1-2}\) und \(Q_{3-4}\) auch 0 unter idealen Bedingungen.
Allerdings scheint bei der Interpretation der Aufgabe ein Missverständnis aufzutreten, da im Carnot-Zyklus während der isothermen Prozesse Wärme übertragen wird, nicht während der isentropen. Für isotherme Prozesse sollten die Wärmeübertragungen tatsächlich berechnet werden mit der Beziehung \(Q = m \cdot R \cdot T \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\), allerdings fehlen hierzu die Volumenangaben oder Massen.
e) Bestimmen Sie den thermischen Wirkungsgrad \(n_{th}\) der Maschine.
Der thermische Wirkungsgrad eines Carnot-Prozesses ist nur von den Temperaturen abhängig, bei welchen Wärme zu- bzw. abgeführt wird:
\(n_{th} = 1 - \frac{T_U}{T_O}\)
\(T_O = 350 °C = 350 + 273 = 623 K\),
\(T_U = 10 °C = 10 + 273 = 283 K\),
\(n_{th} = 1 - \frac{283}{623} = 1 - 0,454 = 0,546\)
Also ist der thermische Wirkungsgrad der Carnot-Maschine 54,6%.
