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Lösung:
a) Wie groß ist die Ladung auf der Außenseite der Metallkugel?
In einer leitenden Kugel führt die Anwesenheit einer internen Ladung dazu, dass sich die freien Elektronen im Leiter so umverteilen, dass das elektrische Feld im Inneren der leitenden Substanz null ist. Das bedeutet, dass alle Überschussladungen zur Oberfläche des Leiters wandern.
Wenn eine Punktladung \( -q \) im Zentrum der Kugel platziert wird, induziert diese eine gleich große, aber positiv geladene Oberflächenladung auf der Innenseite der Kugel, um das Innere feldfrei zu machen. Da die Kugel insgesamt ungeladen ist, muss die Ladung auf der Außenseite genau entgegengesetzt gleich der gesamten Ladung auf der Innenseite sein, um die Neutralität der Kugel insgesamt zu bewahren.
Daher beträgt die Ladung auf der Außenseite der Metallkugel:
\(
Q_{\text{außen}} = +q
\)
b) Berechnen Sie den elektrischen Fluss durch die äußere Schale der großen Kugel, wenn die Punktladung \( q=-1 \mu \mathrm{C} \) und der äußere Radius \( r_{2}=30 \mathrm{~mm} \) beträgt.
Der elektrische Fluss \(\Phi\) durch eine geschlossene Oberfläche, die eine Ladung \(q\) umschließt, wird durch das Gaußsche Gesetz gegeben:
\(
\Phi = \frac{Q_{\text{innen}}}{\epsilon_0}
\)
wo \(Q_{\text{innen}}\) die gesamte eingeschlossene Ladung und \(\epsilon_0\) die elektrische Feldkonstante (\(8.85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2/N\cdot m^2}\)) ist.
In diesem Fall ist die gesamte Ladung, die von der äußeren Schale umschlossen wird, \(Q_{\text{innen}} = -q\), da die innere Ladung \(q = -1 \mu \mathrm{C} = -1 \times 10^{-6} \mathrm{C}\).
Der elektrische Fluss \(\Phi\) durch die äußere Schale beträgt also:
\(
\Phi = \frac{-1 \times 10^{-6} \, \mathrm{C}}{8.85 \times 10^{-12} \, \mathrm{C^2/N\cdot m^2}} \approx -113 \, \mathrm{kN\cdot m^2/C}
\)
Bitte beachten Sie, dass das negative Vorzeichen hier darauf hinweist, dass die Flussrichtung entgegen der angenommen positiven Richtung ist. Im Kontext des Gaußschen Gesetzes interessieren wir uns hauptsächlich für den Betrag des Flusses, daher könnte das negative Vorzeichen oft vernachlässigt werden, wenn nach dem Betrag des Flusses gefragt wird.
