Antwort mit KI erzeugt
Vektor \(\vec{r}\) und \(\mathrm{d}\vec{s}\) Bestimmung:
Um die Magnetfeldstärke \(\vec{H}_{2}(P)\) des rechten Leiters am Punkt \(P=(0; -2a; 0)\) zu berechnen, müssen wir zunächst die Vektoren \(\vec{r}\) und \(\mathrm{d}\vec{s}\) bestimmen, die in der Biot-Savart-Gleichung \(\vec{H}(P)=\frac{I}{4 \pi} \int \frac{\mathrm{d} \vec{s} \times \vec{r}}{r^{3}}\) verwendet werden.
Vektor \(\mathrm{d}\vec{s}\):
Der Vektor \(\mathrm{d}\vec{s}\) repräsentiert ein infinitesimales Segment des stromführenden Leiters. Für einen vertikalen Leiter, der sich entlang der Z-Achse erstreckt, kann \(\mathrm{d}\vec{s}\) als
\(
\mathrm{d}\vec{s} = \mathrm{d}z \hat{z}
\)
ausgedrückt werden, wobei \(\hat{z}\) der Einheitsvektor in Z-Richtung ist.
Vektor \(\vec{r}\):
Der Vektor \(\vec{r}\) ist der Abstandsvektor vom infinitesimalen Segment des Leiters (gegeben durch den Vektor \(\mathrm{d}\vec{s}\)) zum Punkt \(P\), an dem das Magnetfeld berechnet wird. Da der rechte Leiter sich bei \(x = a\) befindet und die Y-Position von \(P\) bei \(-2a\) liegt, mit einer Z-Komponente die variiert (da der Leiter vertikal verläuft), ergibt sich für den Abstandsvektor \(\vec{r}\) von einem Punkt auf dem Leiter zum Punkt \(P\):
\(
\vec{r} = (x_{P} - x_{Leiter})\hat{i} + (y_{P} - y_{Leiter})\hat{j} + (z_{P} - z_{Leiter})\hat{k}
\)
Da \(x_{Leiter} = a\), \(y_{Leiter} = 0\) (weil der Leiter sich entlang der z-Achse erstreckt), \(z_{Leiter} = z\) (Variabel entlang des Leiters), \(x_{P} = 0\), \(y_{P} = -2a\) und \(z_{P} = 0\), wird der Vektor \(\vec{r}\) zu:
\(
\vec{r} = -a\hat{i} - 2a\hat{j} - z\hat{k}
\)
Jetzt können wir das Kreuzprodukt \(\mathrm{d}\vec{s} \times \vec{r}\) berechnen, benötigt für die Biot-Savart-Gleichung:
\(
\mathrm{d}\vec{s} \times \vec{r} =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 0 & \mathrm{d}z \\
-a & -2a & -z \\
\end{vmatrix}
\)
Das Kreuzprodukt vereinfacht sich zu:
\(
= 2a \mathrm{d}z \hat{i} + a\mathrm{d}z \hat{j} + 0 \hat{k}
\)
Mit diesen Informationen können wir uns auf die Integration und weitere Berechnungen konzentrieren, um die Magnetfeldstärke \( \vec{H}_{2}(P) \) zu ermitteln. Beachten Sie jedoch, dass die genaue Lösung stark vom weiteren Kontext der Aufgabe, insbesondere von den Integrationsgrenzen und der spezifischen Lösung des Integrals abhängt.
