kartesische Koordinaten und ebene Polarkoordinaten

Question

Hallo,

ich beschäftige mich zurzeit mit den kartesischen und Polarkoordinaten. Dazu habe ich eine Aufgabe gefunden, zu der ich keine Ahnung habe, wie ich vom kartesischen zu den Polarkoordinaten umwandle.

Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar!

Sei die Bahnkurve r(t) = (acos(ωt), bsin(ωt)) gegeben; a, b und ω seien Konstanten.

Berechne die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a(t) sowohl in kartesischen als
auch in ebenen Polarkoordinaten. Für welchen Spezialfall gilt d/dt |v(t)| = 0?

Ich weiß, dass in den kartesischen Koordinaten die Geschwindigkeit und die Beschleunigung durch die Ableitung (erster und zweiter Ordnung) der Bahnkurve erhalten. Aber wie wandele ich die kartesischen Koordinaten zu ebenen Polarkoordinaten? und wie sehen ihre Skizzen dazu aus (Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung), dazu kann ich mir auch noch kein Bild vorstellen.

Answer 1

Ich weiß nicht genau was du mit umwandeln meinst. Du kannst die Ableitungen jedoch einfach mit dem was du gegeben hast bestimmen.

r(t)=(a*cos(wt), b*sin(wt))

Nun ganz einfach nach der Zeit ableiten:

dr/dt (a*cos(wt), b*sin(wt)) = w(-a*sin(wt), b*cos(wt))

Genauso bei der zweiten Ableitung.

Comments

das ist mir auch bewusst, aber ich soll die Bahnkurve r(t) und ihre Ableitungen sowohl in kartesischen Koordinaten als auch in ebenen Polarkoordinaten bestimmen. Und ich weiß nicht, wie ich das in Polarkoordinaten angebe und ableite.

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und müsste die erste Ableitung nicht w(-a*sin(wt), b*cos(wt)) sein?

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Für die Darstellung in Polarkoordinaten brauchst du allgemein r (Abstand vom Punkt zum Ursprung) und den Winkel zwischen x-Achse und Punkt bzw. der Strecke zum Punkt.

r lässt sich mit (x²+y² )^(1/2)  berechnen.

φ = tan^-1  (y/x)

Klärt das deine Frage oder reden wir aneinander vorbei?

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Und ja, du hast natürlich recht!