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a) Mathematische Beschreibung der Raumladungsdichte \( \rho \) von Original- und Spiegelladung
Um die Raumladungsdichte mit Hilfe der Deltafunktion zu beschreiben, betrachten wir die Anwesenheit der Punktladung \(Q\) und ihrer Spiegelbilder. Aufgrund der perfekt leitenden Flächen in der (x, z) und (y, z) Ebene werden Spiegelladungen erzeugt. Die Originalpunktladung liegt bei \((x_0, y_0, 0)\).
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Erste Spiegelladung: Aufgrund der Fläche in der (x, z) Ebene wird eine Spiegelladung von \( Q \) bei \((x_0, -y_0, 0)\) erzeugt.
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Zweite Spiegelladung: Die Fläche in der (y, z) Ebene erzeugt eine Spiegelladung von \(Q\) bei \((-x_0, y_0, 0)\).
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Dritte Spiegelladung: Die Kombination der Reflexionen an beiden Flächen erzeugt eine Spiegelladung bei \((-x_0, -y_0, 0)\).
Die Raumladungsdichte \( \rho \) der Original- und Spiegelladungen kann mit der Dirac-Deltafunktion ausgedrückt werden, welche für Punktladungen verwendet wird. Die Raumladungsdichte ist dann die Summe der Deltafunktionen, die jeweils auf die Positionen der Original- und Spiegelladungen zentriert sind:
\(
\rho(x, y, z) = Q \delta(x-x_0) \delta(y-y_0) \delta(z) + Q \delta(x-x_0) \delta(y+y_0) \delta(z) + Q \delta(x+x_0) \delta(y-y_0) \delta(z) + Q \delta(x+x_0) \delta(y+y_0) \delta(z)
\)
b) Berechnen Sie das Potenzial
Das elektrische Potenzial \( \Phi \) kann mithilfe des Superpositionsprinzips berechnet werden, wobei das Gesamtpotenzial als Summe der Beiträge jedes einzelnen Ladungspunktes betrachtet wird. Das Potenzial einer Punktladung im dreidimensionalen Raum ist durch die Gleichung
\(
\Phi = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}
\)
gegeben, wobei \( r \) der Abstand zum Ladungspunkt und \( \varepsilon_0 \) die elektrische Feldkonstante ist. Für jede der Punktladungen (einschließlich der Spiegelladungen) berechnen wir das Potenzial und summieren sie. Für die Original- und drei Spiegelladungen berechnen wir:
- Von \( Q \) bei \( (x_0, y_0, 0) \)
- Von \( Q \) bei \( (x_0, -y_0, 0) \)
- Von \( Q \) bei \( (-x_0, y_0, 0) \)
- Von \( Q \) bei \( (-x_0, -y_0, 0) \)
Das resultierende Potenzial \(\Phi\) im Punkt \( (x, y, z) \) ist:
\(
\Phi = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2}} + \frac{1}{\sqrt{(x-x_0)^2 + (y+y_0)^2 + z^2}} + \frac{1}{\sqrt{(x+x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2}} + \frac{1}{\sqrt{(x+x_0)^2 + (y+y_0)^2 + z^2}} \right)
\)
c) Zeichne Linien E-Feld
Um die Linien des elektrischen Feldes (E-Feld) zu zeichnen, betrachtet man, dass das elektrische Feld der Gradient des Potenzials ist, \( \vec{E} = -\nabla \Phi \). Ohne die genauen mathematischen Berechnungen durchzuführen, kann man allgemein sagen, dass die Feldlinien von einer positiven Ladung radial nach außen und zu einer negativen Ladung radial nach innen gerichtet sind (obwohl sich die Vorzeichen hier nicht ändern, hilft das Prinzip, sich die Richtung vorzustellen).
- In der Nähe der Punktladung und ihrer Spiegelbilder würden die Feldlinien radial von den jeweiligen Ladungspositionen ausgehen.
- Die Anwesenheit der leitenden Flächen würde dazu führen, dass sich die Feldlinien orthogonal zu diesen Flächen ausrichten, nahe an den Flächen.
Eine präzise Darstellung erfordert eine detaillierte Analyse des berechneten Potenzials, um die Gradienten zu bestimmen und damit die genaue Richtung und Dichte der Feldlinien in verschiedenen Punkten im Raum.
