Wie groß muss die Leistung des Lasers mindestens sein, damit der Kegel schwebt?

Question

Aufgabe:

Ein kleiner Kegel aus Silizium (Radius R = 1 mm, Dichte ρ = 2,34 g/cm³) soll durch den Strahlungsdruck eines senkrecht nach oben verlaufenden Laserstrahls (grünes Licht der Wellenlänge λ = 530 nm) gegen die Schwerkraft in der Schwebe gehalten werden. Der Kegel zeige mit der Spitze nach unten und der Winkel des Kegelmantels zur Grundfläche sei 45°.

a) Wie groß muss die Leistung des Lasers mindestens sein, damit der Kegel schwebt? Hängt sie vom Reflexionsvermögen des Kegelmaterials ab?

b) Licht kann man als elektromagnetische Welle oder aber auch als Teilchenstrom auffassen. Die Lichtteilchen heißen Photonen und tragen jeweils eine Energie von \( E_{\mathrm{Ph}}=\frac{h \cdot c}{\lambda} \), wobei \( h=6,63 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{s} \) das Plancksche Wirkungsquantum und \( c=3,00 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) die Lichtgeschwindigkeit ist. Wie viele Photonen pro Sekunde muss der Laser mindestens erzeugen?

Answer 1

Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir zuerst die Kraft berechnen, die notwendig ist, um den Kegel gegen die Schwerkraft in der Schwebe zu halten, und dann herausfinden, welche Laserleistung erforderlich ist, um diese Kraft aufzubringen.

Teil a) Berechnung der erforderlichen Laserleistung

Schritt 1: Berechnung des Kegelvolumens und der Masse
Die Dichte \( \rho \) von Silizium ist gegeben als 2,34 g/cm³, und der Radius \( R \) der Kegelbasis beträgt 1 mm = 0,1 cm. Wir müssen zuerst das Volumen \( V \) des Kegels bestimmen:

\( V = \frac{1}{3} \pi R^2 h \)

Da der Winkel des Kegelmantels zur Grundfläche 45° beträgt, ist die Höhe \( h \) des Kegels gleich dem Radius \( R \), also \( h = R = 0,1 \) cm.

Das Volumen \( V \) ist dann:

\( V = \frac{1}{3} \pi (0,1)^2 \times 0,1 \, \text{cm}^3 \)

Die Masse \( m \) des Kegels ergibt sich aus:

\( m = \rho V \)

Schritt 2: Berechnung der notwendigen Auftriebskraft
Die Auftriebskraft \( F \), die notwendig ist, um den Kegel schwebend zu halten, ist gleich der Gravitationskraft, die auf ihn wirkt:

\( F = m g \)

wobei \( g \) die Erdbeschleunigung (\( \approx 9,81 \) m/s²) ist.

Schritt 3: Berechnung der notwendigen Laserleistung
Der Strahlungsdruck \( P \) eines Lasers, der von einer Oberfläche vollständig reflektiert wird, ist:

\( P = \frac{2I}{c} \)

wobei \( I \) die Intensität des Lasers und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Kraft \( F \) auf den Kegel durch den Laser ist:

\( F = P \cdot A \)

wobei \( A \) die Fläche der Kegelbasis ist:

\( A = \pi R^2 \)

Die notwendige Intensität \( I \) ergibt sich aus:

\( F = \frac{2I}{c} A \)

und die erforderliche Leistung \( P_L \) des Lasers ist:

\( P_L = I \cdot A \)

Berechnen wir die Werte:

1. Volumen des Kegels
2. Masse des Kegels
3. Erforderliche Auftriebskraft
4. Fläche der Kegelbasis
5. Notwendige Laserleistung

Anschließend prüfen wir, ob die Reflexion des Materials eine Rolle spielt.

Berechnungen:
1. Volumen des Kegels: \( V \approx 0,00105 \) cm³
2. Masse des Kegels: \( m \approx 2,45 \times 10^{-6} \) kg
3. Notwendige Auftriebskraft (Schwerkraft): \( F \approx 2,40 \times 10^{-5} \) N
4. Fläche der Kegelbasis: \( A \approx 3,14 \times 10^{-6} \) m²
5. Notwendige Laserleistung: \( P_L \approx 1,148 \times 10^9 \) Watt, wenn das Licht vollständig reflektiert wird

Die erforderliche Laserleistung ist extrem hoch, was in der Praxis nicht realistisch ist. Dies zeigt, dass ein sehr starker und fokussierter Laser notwendig wäre, um einen solchen kleinen Kegel mittels Strahlungsdruck in der Schwebe zu halten.

Die Laserleistung hängt tatsächlich vom Reflexionsvermögen des Kegelmaterials ab. Die oben berechnete Leistung basiert auf der Annahme einer vollständigen Reflexion des Lichts (Reflexionskoeffizient \( R = 1 \)). Bei einem geringeren Reflexionsvermögen müsste noch mehr Leistung zugeführt werden, da ein Teil der Energie vom Kegel absorbiert statt reflektiert wird. Die tatsächliche erforderliche Leistung wäre in diesem Fall noch höher.

Teil b) Berechnung der benötigten Photonen pro Sekunde

Die Energie eines Photons kann mit der Formel \( E_{\mathrm{Ph}} = \frac{h \cdot c}{\lambda} \) berechnet werden, wobei \( h = 6,63 \times 10^{-34} \) J·s und \( \lambda = 530 \) nm = \( 530 \times 10^{-9} \) m.

Die Anzahl der Photonen pro Sekunde, die notwendig ist, um die erforderliche Leistung zu liefern, ist dann:

\( \text{Anzahl der Photonen} = \frac{P_L}{E_{\mathrm{Ph}}} \)

Berechnen wir die Energie eines Photons und die Anzahl der erforderlichen Photonen pro Sekunde.

Berechnungen für Photonen:
1. Energie eines Photons: \( E_{\mathrm{Ph}} \approx 3,75 \times 10^{-19} \) Joule
2. Notwendige Anzahl von Photonen pro Sekunde: \( \approx 3,06 \times 10^{27} \) Photonen

Um die extrem hohe Laserleistung von etwa \( 1,15 \times 10^9 \) Watt zu erreichen, müsste der Laser ungefähr \( 3,06 \times 10^{27} \) Photonen pro Sekunde aussenden. Dies verdeutlicht die technischen Herausforderungen und die Unpraktikabilität der Aufrechterhaltung eines solchen Systems unter normalen Umständen.

Comments

Wieso rechnest du mit der Fläche der Kegelbasis, obwohl du die Fläche des Laserquerschnitts nicht kennst? Die Fläche ist doch aber zur Berechnung der Laserleistung gar nicht relevant, weil sie weg gekürzt werden kann:

I = ( F * c ) / ( 2 * A )

P_L = I * A = ( F * c ) / ( 2 * A )  * A = (2,4 * 10^-5 kg m s-² * 3 * 10⁸ m s^-1) / 2  = 3,6 kW

Wie bist du auf P_L ≈ 1,148 * 10⁹ W gekommen?

Und warum Fläche der Kegelbasis und nicht Mantelfläche, denn der Kegel zeigt doch mit der Spitze nach unten?

Ich komme bei b) auf ca. 9,6 * 10²¹ Photonen/s.

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Deine Anmerkungen sind korrekt. Die Berechnungen müssen wie folgt korrigiert werden.

Teil a) Korrigierte Berechnung der erforderlichen Laserleistung

Zunächst zu deiner Korrektur bezüglich der Relevanz der Fläche für die Berechnung der Laserleistung: Du hast Recht, dass die Fläche der Kegelbasis oder Mantelfläche in der endgültigen Berechnung der Leistung nicht relevant ist, da sie sich herauskürzt. Die notwendige Laserleistung kann direkt aus der Beziehung zwischen Kraft, Lichtgeschwindigkeit und Strahlungsdruck berechnet werden:

\( P_L = \frac{F \cdot c}{2} \)

Dabei ist \( F \) die notwendige Kraft, um den Kegel gegen die Schwerkraft zu halten, und \( c \) die Lichtgeschwindigkeit.

Berechnung der notwendigen Kraft

- Masse \( m \) des Kegels:
\( m = \rho \cdot V = 2,34 \, \text{g/cm}^3 \times 0,00105 \, \text{cm}^3 = 0,002457 \, \text{g} = 2,457 \times 10^{-6} \, \text{kg} \)

- Notwendige Kraft \( F \) (Schwerkraft, die aufgehoben werden muss):
\( F = m \cdot g = 2,457 \times 10^{-6} \, \text{kg} \times 9,81 \, \text{m/s}^2 = 2,41 \times 10^{-5} \, \text{N} \)

Berechnung der notwendigen Laserleistung

\( P_L = \frac{2,41 \times 10^{-5} \, \text{N} \cdot 3 \times 10^{8} \, \text{m/s}}{2} = 3,615 \times 10^3 \, \text{W} = 3,6 \, \text{kW} \)

Teil b) Korrigierte Berechnung der benötigten Photonen pro Sekunde

Zur Bestimmung der Anzahl der Photonen pro Sekunde nutzen wir die bereits ermittelte Energie eines Photons:

\( E_{\mathrm{Ph}} = \frac{h \cdot c}{\lambda} = \frac{6,63 \times 10^{-34} \, \text{J s} \cdot 3 \times 10^{8} \, \text{m/s}}{530 \times 10^{-9} \, \text{m}} \approx 3,75 \times 10^{-19} \, \text{J} \)

Die erforderliche Anzahl der Photonen pro Sekunde ist dann:

\( \text{Anzahl der Photonen} = \frac{P_L}{E_{\mathrm{Ph}}} = \frac{3,6 \times 10^3 \, \text{W}}{3,75 \times 10^{-19} \, \text{J}} \approx 9,6 \times 10^{21} \, \text{Photonen/s} \)

Deine Berechnungen sind richtig.