Antwort mit KI erzeugt
Elektron im H-Atom im Grundzustand
Um die Aufgabe zu lösen, müssen wir uns mit der Wahrscheinlichkeitsdichte \( \Psi \) eines Elektrons in einem Wasserstoffatom im 1s-Grundzustand beschäftigen. Die Wahrscheinlichkeitsdichte gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron an einem bestimmten Ort im Atom zu finden ist. Für den 1s-Grundzustand lautet die Wellenfunktion \( \Psi_{1s}(r) \), wobei \( r \) der Radius vom Kern ist:
\(
\Psi_{1s}(r) = \left(\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\right)e^{-r/a_0}
\)
Dabei ist \( a_0 \) der Bohrsche Radius, welcher ungefähr \( 5.29 \times 10^{-11} \) m beträgt.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte \( P(r) \) ist das Quadrat des Absolutbetrags der Wellenfunktion \( \Psi_{1s}(r) \):
\(
P(r) = \left|\Psi_{1s}(r)\right|^2 = \left(\frac{1}{\pi a_0^3}\right)e^{-2r/a_0}
\)
Unsere Aufgabe ist es, den Wert von \( r \) zu finden, für den die Wahrscheinlichkeitsdichte 50 % ihres Maximalwertes erreicht. Der Maximalwert von \( P(r) \) wird bei \( r = 0 \) erreicht und beträgt \( \frac{1}{\pi a_0^3} \). Die Hälfte dieses Maximalwertes ist \( \frac{1}{2\pi a_0^3} \).
Setzen wir diese Hälfte in die Gleichung für \( P(r) \) ein und lösen nach \( r \) auf:
\(
\frac{1}{2\pi a_0^3} = \left(\frac{1}{\pi a_0^3}\right)e^{-2r/a_0}
\)
Vereinfachen wir die Gleichung, erhalten wir:
\(
\frac{1}{2} = e^{-2r/a_0}
\)
Um nach \( r \) aufzulösen, nehmen wir auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus:
\(
\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(e^{-2r/a_0}\right)
\)
\(
-2r/a_0 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = -\ln(2)
\)
Daraus folgt:
\(
r = \frac{a_0}{2} \ln(2)
\)
Unter Verwendung von \( a_0 = 5.29 \times 10^{-11} \) m ergibt sich:
\(
r = \frac{5.29 \times 10^{-11} \text{ m}}{2} \cdot \ln(2) \approx 1.829 \times 10^{-11} \text{ m} \approx 0.183 \, \text{nm}
\)
Fazit: Der Wert von \( r \), für den die Wahrscheinlichkeitsdichte 50 % ihres Maximalwertes erreicht, beläuft sich auf etwa 0.183 nm.
