Wellenlängenunterschied, Winkel und maximum von Gitterbeugung

Question

Aufgabe:

Ein 5,0 mm breites Gitter besitzt 800 Striche pro Millimeter.

a) Wie klein darf der Wellenlängenunterschied zweier Linien sein, damit sie von diesem Gitter bei λ = 450 nm im Spektrum dritter Ordnung gerade noch aufgelöst werden können?

b) Unter welchem Winkel erscheint das Maximum erster Ordnung?

c) Was ist die höchste Ordnung, für die ein Maximum beobachtet werden kann?

Comments

es liegt mir auch nicht Antworten zu geben, wenn jemand gar nicht selbst versucht. unter welchem Winkel sieh man das Max dritter Ordnung, wo liegt das benachbarte Min, mindesten so weit muss  das Max der benachbarten Wellenlänge entfern sein-

Welche Formeln kennst du?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Teil A: Auflösungsvermögen des Gitters

Das Auflösungsvermögen eines Gitters wird durch die Rayleigh-Kriterium gegeben, mit der Formel:
\( R = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} = mN \)
wobei \(R\) das Auflösungsvermögen, \(\lambda\) die Wellenlänge der Lichtquelle, \(\Delta \lambda\) der kleinste aufzulösende Wellenlängenunterschied, \(m\) die Beugungsordnung und \(N\) die Anzahl der beleuchteten Gitterlinien ist.

Gegeben sind \(m = 3\) (dritte Ordnung) und ein 5,0 mm breites Gitter mit 800 Strichen pro Millimeter, also:
\( N = 5 \, \text{mm} \times 800 \, \text{Striche/mm} = 4000 \, \text{Striche} \)
Das setzen wir in die Formel für das Auflösungsvermögen ein:
\( R = \frac{450 \, \text{nm}}{\Delta \lambda} = 3 \times 4000 \)
\( R = 12000 \)
Löst man nach \(\Delta \lambda\) auf, erhalten wir:
\( \Delta \lambda = \frac{450 \, \text{nm}}{12000} = 0,0375 \, \text{nm} \)

Teil B: Winkel des Maximums erster Ordnung

Die Beugungswinkel \(\theta\) für die Maxima auf einem Gitter können mithilfe der Gittergleichung berechnet werden:
\( d \sin(\theta) = m\lambda \)
wobei \(d\) die Gitterkonstante (Abstand zwischen den Gitterlinien) und \(m\) die Ordnung des Beugungsmaximas ist. Die Gitterkonstante ist der Kehrwert der Anzahl der Striche pro Millimeter, also:
\( d = \frac{1}{800 \, \text{Striche/mm}} = \frac{1}{0,8 \, \text{Striche/}\mu\text{m}} = 1,25 \, \mu\text{m} \)
Setzen wir die Werte für die erste Ordnung (\(m = 1\)) und \(\lambda = 450 \, nm = 0,45 \, \mu m\) ein in die Gittergleichung:
\( 1,25 \, \mu\text{m} \sin(\theta) = 1 \times 0,45 \, \mu\text{m} \)
\( \sin(\theta) = \frac{0,45 \, \mu\text{m}}{1,25 \, \mu\text{m}} = 0,36 \)
\( \theta = \sin^{-1}(0,36) \approx 21,09^\circ \)

Teil C: Höchste beobachtbare Beugungsordnung

Die höchste Ordnung \(m_{max}\) wird erreicht, wenn \(\sin(\theta) = 1\) (entspricht \(90^\circ\)). Aus der Gittergleichung:
\( d \sin(\theta) = m_{max} \lambda \)
Wenn \(\sin(\theta) = 1\), dann:
\( 1,25 \, \mu\text{m} = m_{max} \times 0,45 \, \mu\text{m} \)
Lösen nach \(m_{max}\):
\( m_{max} = \frac{1,25}{0,45} \approx 2,78 \)
Da \(m_{max}\) eine ganze Zahl sein muss, ist die höchste beobachtbare Ordnung \(m_{max} = 2\).