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Extrapolationsansätze in der Werkstofftechnik
Extrapolationsansätze wie die von Ludwik, Holloman, oder Gosh sind Methoden zur Beschreibung der Fließkurven von Werkstoffen. Die Fließkurve stellt den Zusammenhang zwischen der Spannung \( \sigma \) und der plastischen Dehnung \( \varepsilon_p \) eines Werkstoffes dar. Hierbei kommt es oft vor, dass man nicht den ganzen Bereich der Fließkurve experimentell bestimmen kann oder will. Hier setzt die Extrapolation an, um über den experimentell erfassten Bereich hinaus Vorhersagen zu treffen.
Ludwik und Holloman Ansätze
Zwei häufig verwendete Extrapolationsansätze zur Beschreibung der Fließkurven sind:
-
Ludwik: \( \sigma = K \cdot \varepsilon_p^n \)
-
Holloman: \( \sigma = C \cdot \varepsilon_p^n \)
In beiden Fällen ist \( \sigma \) die Spannung und \( \varepsilon_p \) die plastische Dehnung. Der Verfestigungsexponent \( n \), der das Werkstoffverhalten bei plastischer Verformung beschreibt, und der Wert \( C \) oder \( K \), der eine materialspezifische Konstante darstellt, werden aus experimentellen Daten ermittelt.
Ermittlung von \( n \) und \( C \) oder \( K \)
Die Ermittlung von \( n \) und \( C \) (bzw. \( K \) im Fall von Ludwiks Ansatz) erfolgt mithilfe von Spannungs-Dehnungs-Kurven, die experimentell erfasst werden. Eine gängige Methode hierfür ist:
1.
Logarithmieren beider Seiten: Da die Formeln eine exponentielle Form haben, logarithmiert man beide Seiten, um eine lineare Beziehung zu erhalten. Für den Holloman-Ansatz zum Beispiel wird dies wie folgt gemacht:
\(
\ln(\sigma) = \ln(C) + n \cdot \ln(\varepsilon_p)
\)
Durch Logarithmieren bekommt man eine Gleichung der Form \( y = mx + b \), wobei \( y = \ln(\sigma) \), \( m = n \), \( x = \ln(\varepsilon_p) \), und \( b = \ln(C) \).
2.
Bestimmung von \( n \) und \( C \): Man trägt nun \( \ln(\sigma) \) gegen \( \ln(\varepsilon_p) \) in einem Diagramm auf. Die Steigung der entstehenden Geraden entspricht dem Verfestigungsexponenten \( n \), und der y-Achsenabschnitt ermöglicht es, \( C \) zu berechnen, da \( b = \ln(C) \) ist. Um \( C \) selbst zu erhalten, verwendet man die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus:
\(
C = e^b
\)
Zusammenfassung
Um extrapolierte Fließkurven zu erstellen, müssen also die Konstanten \( C \) bzw. \( K \) und der Verfestigungsexponent \( n \) aus vorhandenen experimentellen Daten abgeleitet werden. Die Vorgehensweise beinhaltet die Logarithmierung der Gleichung, Erstellen eines Diagramms der logarithmierten Größen und das Bestimmen der Geradenparameter, welche \( n \) und \( C \) (bzw. \( K \)) repräsentieren.
