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a) Mathematischer Ausdruck für den Querschnitt des Trichters
Um die Form des Trichters zu bestimmen, bei der keine Querkräfte auftreten, ist es wichtig, die Bewegung der Münze als eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit zu betrachten. Bei einer solchen Bewegung wirkt die nötige Zentripetalkraft zur Führung der Münze auf einer Kreisbahn durch die Gewichtskomponente der Münze selbst. Diese Gewichtskomponente ist parallel zur Trichterwand und kann durch die Neigung der Trichterwand bestimmt werden.
Für eine Münze, die sich mit der Geschwindigkeit \(v\) in einem Abstand \(r\) von der Mitte auf einer Kreisbahn bewegt, lässt sich die erforderliche Zentripetalkraft \(F_z\) durch die Gleichung
\(
F_z = \frac{mv^2}{r}
\)
ausdrücken, wobei \(m\) die Masse der Münze ist. Diese Kraft muss durch die Komponente der Gewichtskraft der Münze, die in Richtung der Trichterwand zeigt, erbracht werden. Die Gewichtskraft selbst ist \(mg\) mit \(g\) als der Erdbeschleunigung. Die erforderliche Neigung \(\theta\) der Trichterwand kann durch das Verhältnis der Zentripetalkraft zur Gewichtskraft bestimmt werden, sodass
\(
\tan(\theta) = \frac{F_z}{F_g} = \frac{v^2}{gr}
\)
Da \(\tan(\theta) = \frac{dy}{dr}\) (wobei \(dy\) die Änderung der Höhe des Trichters und \(dr\) die Änderung des Radius entlang der Spirale ist), kann die Gleichung auch geschrieben werden als
\(
\frac{dy}{dr} = \frac{v^2}{gr}
\)
Um \(y(r)\), die Höhe des Trichters als Funktion des Radius \(r\), zu finden, integrieren wir beide Seiten der Gleichung:
\(
\int dy = \int \frac{v^2}{gr} dr
\)
was zu
\(
y = \frac{v^2}{g}\ln(r) + C
\)
führt, wobei \(C\) eine Integrationskonstante ist, die durch Berücksichtigung der Randbedingungen bestimmt wird. Diese Formel definiert den erforderlichen Verlauf des Trichters, um sicherzustellen, dass keine Querkraft auf die Münze ausgeübt wird, die sie zum Umfallen bringen könnte.
b) Bauhöhe des Trichters und maximales Lastvielfache
Um die Bauhöhe des Trichters zu bestimmen, setzen wir \(v = 1\,m/s\), \(g = 9,81\,m/s^2\), \(r_1 = 0,5\,m\) für den Startpunkt und \(r_2 = 0,025\,m\) (5 cm entsprechen 0,05 m im Durchmesser, also 0,025 m Radius) für den Endpunkt nahe dem Loch.
1. Bestimmung von \(y(r_1)\):
\(
y(r_1) = \frac{1^2}{9,81}\ln(0,5) + C
\)
2. Bestimmung von \(y(r_2)\):
\(
y(r_2) = \frac{1^2}{9,81}\ln(0,025) + C
\)
Die Bauhöhe \(H\) des Trichters ist dann die Differenz \(y(r_1) - y(r_2)\).
Da die Integrationskonstante \(C\) in beiden Fällen auftritt und wir an der Differenz interessiert sind, können wir diesen Wert berechnen, ohne \(C\) explizit zu berechnen.
\(
H = \left(\frac{1^2}{9,81}\ln(0,5)\right) - \left(\frac{1^2}{9,81}\ln(0,025)\right)
\)
\(
H = \frac{1}{9,81}(\ln(0,5) - \ln(0,025))
\)
\(
H = \frac{1}{9,81}(\ln(20))
\)
\(
H \approx \frac{1}{9,81} \cdot 2,995
\)
\(
H \approx 0,305\,m
\)
Die Bauhöhe des Trichters beträgt daher ungefähr 0,305 Meter oder 30,5 cm.
Das
maximale Lastvielfache, das auf eine Münze wirkt, tritt am Startpunkt bei r = 0,5 m auf, da dort die Zentrifugalkraft im Verhältnis zum Gewicht der Münze am größten ist. Dieses Vielfache lässt sich berechnen als \(F_z/F_g = v^2/(gr)\), was am Anfangspunkt die größte Kraft darstellt.
\(
\text{Maximales Lastvielfache} = \frac{1^2}{9,81 \cdot 0,5} = \frac{1}{9,81 \cdot 0,5}
\)
\(
\approx 0,204
\)
Das maximale Lastvielfache beträgt also ungefähr \(0,204\) (bezogen auf das Eigengewicht der Münze), was bedeutet, dass am Startpunkt eine Zentrifugalkraft wirkt, die etwa 20,4% der Gewichtskraft der Münze beträgt.
