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a) Formulierung der Gleichgewichtskonstante \(K_p\)
Die Gleichgewichtskonstante \(K_p\) für eine Gasphasenreaktion in Bezug auf die Partialdrücke lässt sich ausdrücken als:
\( K_p = \left( \frac{P_C^2}{P_A^2 \cdot P_B} \right) \)
Für die gegebene Reaktionsgleichung \(2A(g) + B(g) \rightarrow 2C(g)\), wäre die Gleichgewichtskonstante basierend auf den Partialdrücken:
\( K_p = \frac{(P_C)^2}{(P_A)^2 \cdot P_B} \)
b) Bestimmung der theoretischen Gleichgewichtskonstante bei 200°C
Um die theoretische Gleichgewichtskonstante bei 200°C zu ermitteln, ohne die spezifische Reaktionsenthalpie zu kennen, aber unter der Annahme, dass diese über den Temperaturbereich als annähernd konstant angesehen werden kann, wird die Van't Hoffsche Reaktionsisobare genutzt. Diese lautet in ihrer logarithmischen Form:
\( \ln\left(\frac{K_{p2}}{K_{p1}}\right) = -\frac{\Delta H^\circ}{R} \left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right) \)
wobei:
- \(K_{p1}\) und \(K_{p2}\) die Gleichgewichtskonstanten bei den Temperaturen \(T_1\) und \(T_2\) sind,
- \(\Delta H^\circ\) die Änderung der Standardreaktionsenthalpie ist,
- \(R\) die allgemeine Gaskonstante (\(8.314\,J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}\)) ist,
- \(T_1\) und \(T_2\) die absoluten Temperaturen in Kelvin sind.
Hier sind gegebene Werte \(K_{p}\) bei 100°C (373 K) und bei 300°C (573 K). Es wird eine Berechnungsmethode benötigt, um \(\Delta H^\circ\) oder zumindest einen proportionalen Wert zu ermitteln, den wir dann verwenden können, um \(K_p\) bei 200°C (473 K) zu berechnen.
Wir setzen die Werte für \(K_{p1} = 0.5\) bei \(T_1 = 373 K\) und \(K_{p2} = 1.2\) bei \(T_2 = 573 K\) ein, um die Differentialgleichung zu lösen und \(\Delta H^\circ\) implizit zu erfassen:
\( \ln\left(\frac{1.2}{0.5}\right) = -\frac{\Delta H^\circ}{8.314} \left(\frac{1}{573} - \frac{1}{373}\right) \)
Obwohl wir \(\Delta H^\circ\) nicht direkt berechnen, ist es möglich, die Gleichung so zu manipulieren, dass eine Gleichung entsteht, mit deren Hilfe dann \(K_{p}\) bei 200°C oder 473 K berechnet werden kann, indem der gleiche \(\Delta H^\circ/R\) Faktor genutzt wird:
\( \ln\left(\frac{K_{p200}}{0.5}\right) = -\frac{\Delta H^\circ}{8.314} \left(\frac{1}{473} - \frac{1}{373}\right) \)
\( \ln\left(\frac{K_{p200}}{0.5}\right) = \ln\left(\frac{1.2}{0.5}\right) \frac{\left(\frac{1}{473} - \frac{1}{373}\right)}{\left(\frac{1}{573} - \frac{1}{373}\right)} \)
Leider, ohne spezifische Werte von \(\Delta H^\circ\) oder ohne Vereinfachungen direkt zu benutzen, können wir nicht einfach von einer linearen Beziehung oder einer genauen Berechnung der Gleichgewichtskonstante bei 200°C ausgehen, basierend auf der ursprünglich vorgeschlagenen Methodik des Nutzers. Die obige Methode zeigt den grundlegenden Ansatz, wie man mit der verfügbaren Information normalerweise vorgehen würde, um grundsätzlich zu verstehen, wie \(K_p\) mit der Temperatur skaliert, unter der Voraussetzung, dass \(\Delta H^\circ\) über den betrachteten Temperaturbereich hinweg annähernd konstant ist.
Für eine genaue Berechnung benötigen wir entweder \(\Delta H^\circ\) oder zusätzliche Informationen zur direkten Bestimmung von \(K_{p}\) bei 200°C. Da diese Informationen fehlen und die Van't Hoff-Gleichung eine Annäherung verwendet, bleibt die Frage durch direkte Berechnung ohne zusätzliche Annahmen oder Angaben unbeantwortbar.
