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Erklärung der Umformung
Die gegebene Umformung betrifft die Ermittlung des inneren Potentials \(\Pi_i\) eines elastischen Körpers unter Berücksichtigung der Verformung. Das innere Potential ist die im Körper gespeicherte elastische Energie und ist wichtig für das Verständnis von Materialverhalten unter Last.
Die anfängliche Form des inneren Potentials ist durch das Integral
\( \Pi_{i}=\int \limits_{(l)} \int \limits_{(A)} \int \limits_{0}^{\epsilon} \bar{\sigma} \cdot d \bar{\epsilon} d A d x \)
gegeben. Dabei ist:
- \(\int \limits_{(l)} ... dx\) das Integral über die Länge (\(l\)) des Körpers.
- \(\int \limits_{(A)} ... dA\) das Integral über den Querschnitt (\(A\)) des Körpers.
- \(\int \limits_{0}^{\epsilon} \bar{\sigma} \cdot d \bar{\epsilon}\) das Integral der Spannung (\(\bar{\sigma}\)) über die Dehnung (\(\bar{\epsilon}\)) vom unverformten (0) zum verformten Zustand (\(\epsilon\)).
Schritt 1: Umformung des Spannungs-Dehnungs-Integrals
Die Spannung (\(\bar{\sigma}\)) in einem elastischen Körper wird durch das Hooke'sche Gesetz mit der Dehnung (\(\bar{\epsilon}\)) verknüpft:
\( \bar{\sigma} = E \bar{\epsilon} \)
wobei \(E\) der Elastizitätsmodul ist.
Das Integral bezüglich der Dehnung kann daher umgeformt werden:
\( \int \limits_{0}^{\epsilon} \bar{\sigma} \cdot d \bar{\epsilon} = \int \limits_{0}^{\epsilon} E \bar{\epsilon} \cdot d \bar{\epsilon} \)
Das Ergebnis dieses Integrals ist:
\( \frac{1}{2} E \epsilon^2 \)
Schritt 2: Integration über den Querschnitt
Wird diese Beziehung in das Integral über den Querschnitt und die Länge eingesetzt, verschwindet die explizite Erwähnung der Querschnittsfläche (\(A\)), da nun angenommen wird, dass der Elastizitätsmodul (\(E\)) und die resultierende Dehnung (\(\epsilon\)) über den gesamten Querschnitt und Längenbereich konstant sind.
Schritt 3: Einbeziehung der Normalkraft
Für ein Stabelement kann die Kraft (\(N(x)\)) mit der Spannung und der Querschnittsfläche verknüpft werden:
\( N(x) = \bar{\sigma} \cdot A(x) \)
wobei \(A(x)\) die Querschnittsfläche am Punkt \(x\) entlang des Stabes ist. Mit dem Hooke'schen Gesetz kann die Spannung durch \(E \cdot \epsilon\) ersetzt werden, womit
\( N(x) = E \cdot \epsilon \cdot A(x) \)
folgt. Nach \(\epsilon\) umgestellt, ergibt sich:
\( \epsilon = \frac{N(x)}{E \cdot A(x)} \)
Setzt man dies nun in die Fortsetzung unserer Umformung über die Länge ein, erhalten wir:
\( \Pi_{i}= \frac{1}{2} \int \limits_{(l)} E \left( \frac{N(x)}{E \cdot A(x)} \right)^2 \mathrm{~d} x \)
Nachdem \(E\) aus dem Quadrat gekürzt werden kann, vereinfacht sich dies zu:
\( \Pi_{i}=\frac{1}{2} \int \limits_{(l)} \frac{1}{E A(x)} N(x)^{2} \mathrm{~d} x \)
Hier zeigt sich, dass das innere Potential \(\Pi_i\) für elastische Körper unter Berücksichtigung der Normalkraft \(N(x)\), des Elastizitätsmoduls \(E\) und der variablen Querschnittsfläche \(A(x)\) als Funktion entlang der Länge \(l\) dargestellt wird.
Diese Umformung basiert also auf der Anwendung des Hooke'schen Gesetzes für elastisches Materialverhalten, der Beziehung zwischen Normalkraft, Spannung und Querschnittsfläche sowie der Integration der Spannungs-Dehnungs-Energie über den gesamten Körper.
