Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um die Kräfte zu berechnen, die auf die Befestigungspunkte wirken, müssen wir uns zuerst ein Bild davon machen, wie die einzelnen Gewichte und Kräfte verteilt sind. Wir haben die Fahnenstange und die Flagge, deren Gewichtskräfte auf die Befestigungspunkte wirken. Da die Stange unter dem Winkel α = 30° zur Waagrechten steht, wirken die Kräfte nicht direkt vertikal.
Gewichtskräfte:
Die Gewichtskraft der Stange ist \(F_{S} = M_{S} \cdot g\), mit \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\).
Die Gewichtskraft der Flagge ist \(F_{F} = M_{F} \cdot g\).
Berechnung der Gewichtskräfte:
1. Für die Stange: \(F_{S} = 6.5 \times 9.81 = 63.765 \, \text{N}\)
2. Für die Flagge: \(F_{F} = 3.0 \times 9.81 = 29.43 \, \text{N}\)
Analyse der Kräfte:
Die Kraft auf den Balkon (Punkt B) muss diese beiden Gewichtskräfte ausgleichen, damit das System im Gleichgewicht ist. Die Stange übt eine vertikale und eine horizontale Komponente der Kraft aus. Da die Balkonbrüstung waagrecht ausgerichtet ist, wird sie mehr dazu neigen, die horizontalen Komponenten der Gewichtskraft zu tragen.
Vereinfachte Momentbetrachtung um den Befestigungspunkt an der Hausfassade:
1. Die Kraft aufgrund der Stange verteilt \(F_{S}\) über ihre Länge wirkt im Schwerpunkt der Stange. Dieser liegt in der Hälfte der Länge (L/2) bei einem Winkel von 30°.
2. Die Flagge am Ende addiert eine vertikale Kraft \(F_{F}\).
Für die Kraft an der Balkonbrüstung \(F_{B}\):
Das Moment \(M_{H}\) um den Befestigungspunkt an der Hausfassade (H) muss ausgeglichen sein:
\(M_{H} = 0 = F_{S} \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\alpha) + F_{F} \cdot L \cdot \cos(\alpha) - F_{B} \cdot x_{B}\)
Die Distanz \(x_{B}=120 \, \text{cm}\) = 1.2 m.
Einsetzen der Werte:
\(0 = 63.765 \cdot 3.25 \cdot \cos(30°) + 29.43 \cdot 6.5 \cdot \cos(30°) - F_{B} \cdot 1.2\)
Um zu berechnen, verwenden wir \(\cos(30°) = \sqrt{3}/2\):
\(0 = 63.765 \cdot 3.25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 29.43 \cdot 6.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - F_{B} \cdot 1.2\)
Jetzt rechnen wir die linke Seite aus:
\(0 = (207.03825 + 191.295) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - F_{B} \cdot 1.2\)
\(398.33325 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = F_{B} \cdot 1.2\)
\(398.33325 \cdot 0.866 = F_{B} \cdot 1.2\)
\(344.9328 = F_{B} \cdot 1.2\)
Lösen nach \(F_{B}\):
\(F_{B} = \frac{344.9328}{1.2} = 287.44 \, \text{N}\)
Kraft auf den Befestigungspunkt an der Hausfassade \(F_{H}\):
Die vertikale Komponente von \(F_{H}\) muss den gesamten vertikalen Gewichtskräften von Flagge und Stange entgegenwirken. Wir haben bereits \(F_{S}\) und \(F_{F}\) berechnet und müssen diese jetzt nur noch zusammenzählen:
\(F_{H_{vertikal}} = F_{S} + F_{F} = 63.765 + 29.43 = 93.195 \, \text{N}\)
Diese berechnete Kraft ist die vertikale Komponente von \(F_{H}\). Da jedoch \(F_{B}\) eine horizontale Komponente hat und \(F_{H}\) die resultierende Kraft beider Komponenten ist, muss man für die genaue Kraft auf \(F_{H}\) auch die horizontale Komponente betrachten, die \(F_{B}\) entspricht.
Die gesamte Kraft auf \(F_{H}\) kann durch Vektoren von \(F_{H_{vertikal}}\) und \(F_{B}\) (horizontale Komponente) bestimmt werden, vorausgesetzt, dass keine anderen horizontalen Kräfte wirken. Da dies eher eine vereinfachte Analyse ist, die auf der Annahme beruht, dass alle horizontalen Kräfte durch \(F_{B}\) ausgeglichen werden, wäre eine genaue Berechnung der Horizontalen Komponente von \(F_{H}\) komplexer und abhängig von der Konstruktion.
